2019-2020学年浙江省十校联盟高三（下）开学数学试卷

∴ 当??在(,1)内增大时，??(??+??)增大，??(??+??)减小，

21

8. 如图，矩形????????中，????＝4，????＝2，??为????的中点，△??????沿着????向上翻折，使点??到??′．若??′在平面????????上的投影??落在梯形????????内部（不含边界），设二面角??′????????的大小为??，直线??′??，??′??与平面??????所成角分别为??，??，则（ ）

A.??

B.??

C.??

【考点】

二面角的平面角及求法 直线与平面所成的角 【解析】

作出图象，根据空间角定义可得tan??=

??′??

，tan??=????

??′??

，tan??=????

??′??????

，结合????<

????

【解答】

由????＝2????＝4可知，????＝????，作????中点??，则????⊥????，故??在线段????上，作??′??⊥????交????于??，连接????，????，????，如图，

易知，tan??=

??′??

，tan??=????

??′??

，tan??=????

??′??????

，

又????

∴ ??

9. 已知??>??>0，给出下列命题：

①若√???√??=1，则?????<1； ②若??3???3＝1，则?????<1； ③若?????????＝1，则?????<1； ④若ln???ln??＝1，则?????<1． 其中真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 B

【考点】

命题的真假判断与应用 【解析】

①若√???√??=1，则√??=√??+1，然后两边平方，再通过作差法即可得解；

②若??3???3＝1，则??3?1＝??3，然后利用立方差公式可知(???1)(??2+??+1)＝??3，

试卷第5页，总20页

再结合??>??>0以及不等式的性质即可判断； ③若?????????＝1，则???????=

????????=

????+1????=

1????+1，再利用??>0，得出????>1，从而求得

???????的范围，进而判断；

④取特殊值，??＝??，??＝1即可判断． 【解答】

①若√???√??=1，则√??=√??+1，所以??=??+1+2√??，所以?????＝1+2√??>1，即①错误；

②若??3???3＝1，则??3?1＝??3，即(???1)(??2+??+1)＝??3，

因为??>??>0，所以??2>??2，所以??2+??+1>??2，所以???1

③若?????????＝1，则???????=????=

????

????+1????=????+1，因为??>0，所以1

1

所以?????<1，即③正确；

④取??＝??，??＝1，满足ln???ln??＝1，但?????>1，所以④错误； 所以真命题有②③，

2

10. 已知数列{????}的各项都是正数且满足2?????3????＝?????1(??∈???,???≥2)，????是数列{????}的前??项和，则下列选项中错误的一项是（ ） A.若{????}单调递增，则0

C.若??1≠2，则(2??2+1)(2??3+1)?(2????+1)=D.若??1＝3，则????≥

3(3??+1)

4

??1?2?????2

34(??≥2)

．

【答案】 D

【考点】

命题的真假判断与应用 数列递推式 【解析】

由数列递增可得????>?????1，结合数列的递推式，解不等式可判断??；分别求得??2，??3，比较可判断??；由数列的递推式可得2????+1=

?????1?2?????2

，由累差法可判断??；求得??2，??2，

可判断??． 【解答】

2

数列{????}的各项都是正数且满足2?????3????＝?????1(??∈???,???≥2)， 若{????}单调递增，可得????>?????1，

2

即为??????????1＝4?????2????>0，可得0

2

若??1＝1，可得2??2?3??2＝??1＝1，解得??2=2由2??3?3??3＝??2=3+√174

3+√174

3+√174

（负值已舍去），

，(?)，

∈(1.75,?1.8)，

试卷第6页，总20页

2而2??3?3??3＝2(??3?)2?在(24,?2)的范围是(4√2?3×24,?2)，

4

8

3

9

3

3

而√2<24<2，则4√2?3×24∈(4√2?6,?√2)，故方程(?)的解在(24,?2)内，故??正确；

22

由2?????3????＝?????1，可得2?????3?????2＝?????1?2，即(2????+1)(?????2)＝?????1?2， 即2????+1=

??1?2?????2

?????1?2?????2

333

，可得(2??2+1)(2??3+1)…(2????+1)=

??1?2??2?2??2?2??3?2

??

?????1?2?????2

=

(??1≠2)，故??正确；

3+√334

2若??1＝3，可得2??2?3??2＝??1＝3，解得??2=

，??2＝3+

4

3+√334

，

由

3×(3×2+1)

4

=

214

，3+

3+√334

?

214

=

√33?64

<0，可得??2<

3×(3×2+1)

，故??错误．

二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）

我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为??，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin??＝________，sin2+cos2=________．

??

??

【答案】

32√10, 55

【考点】 解三角形

三角形的面积公式 【解析】

直接利用三角形的全等，整理出关于一元二次方程，进一步利用关系式的应用求出三角函数的值． 【解答】

根据已知条件四个直角三角形全等， 所以设直角三角形的短的直角边长为??， 则较长的直角边长为??+1，

所以??2+(??+1)2＝52，整理得??2+???12＝0， 解得：??＝3或?4（负值舍去）， 所以sin??=5．

sin2+cos2=√(sin2+cos2)2=√1+sin??=√1+5=

已知直线??:??=????被圆??：(???1)2+(??+2)2=4截得的弦长为2√3，则??=________，圆??上到直线??的距离为1的点有________个．

试卷第7页，总20页

??

??

??

??

3

2√10． 5

3

【答案】 ?,3

43

【考点】

直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 【解析】

利用点到直线的距离公式求出圆心到直线??1的距离??，再根据弦长公式求出??，解方程求得 ?? 值， 【解答】

解：由题得圆心??(1,??2)，则圆心到直线??的距离??=??=?4；

因为??=1，??=2，则圆??上到直线??的距离为1的点应有3个. 故答案为：?4；3.

（1）若二项式(???2??)(??√??3

3

|??+2|√??2+1=√4?(√3)2=1，解得

∈???)的展开式中存在常数项，则??的最小值为________；

（2）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为________．（用数字作答） 【答案】 3 700

【考点】

二项式定理及相关概念

排列、组合及简单计数问题 【解析】

（1）根据二项式展开式的通项公式，令??的指数等于0，求出??、??的关系，即可求出??的最小值；

（2）根据题意，分2步进行分析：①，从6名志愿者中选出4人，②，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，由分步计数原理计算可得答案 【解答】 (???2??)(??√??∈???)的展开式中通项公式为 ?

2(???)??

√????+1=????????????

=

32

?????

?(?2)???

??

?????

3

2，

令?????＝0，解得??=??，其中??＝0，1，2，…，??；

2

3

当??＝2时，??＝3； 所以??的最小值为3．

根据题意，分2步进行分析：

4

①，从6名志愿者中选出4人，有??6＝15种选法，

②，将选出的4人分成2组，分别参加两项公益活动，有24?2＝14种情况， 则有15×14＝700种不同的安排方案， 故答案为：3，700．

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