高考数学选考内容习题汇总

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选考内容

1．(2013·高考安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )

A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2

π

B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2

2π

C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1

2

D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1 解析：选B.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－

π

1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)

2和ρcos θ＝2.

π

2．(2013·高考北京卷)在极坐标系中，点(2，)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．

6

π

解析：极坐标系中点(2，)对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直

6角坐标系中直线y＝2.故所求距离为1.

答案：1

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3.(2013·高考北京卷)

如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.

解析：由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a. 根据切割线定理有PA2＝PD·PB.又PA＝3，PB＝25a，

19

∴9＝9a·25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.

55

在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.

9答案：，4

5

4．(2013·高考天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为?4，π?，则|CP|＝________.解析：由ρ＝4cos θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心?3?C的直角坐标为(2,0)．又点P的直角坐标为(2,23)，因此|CP|＝23. 答案：23

5．(2013·高考天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．

解析：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.因为AE与圆相切，所以∠EAB＝∠C.所以∠ABC＝∠EAB，所以AE∥BC.又因为AC∥DE，所以四边形AEBC是平行四边形．由切割线定理可得AE2＝EB·ED，于是62＝EB(EB＋5)，所以EB＝4(负值舍去)，因此AC＝4，BC＝6.又因为

4CF8

△AFC∽△DFB，所以＝，解得CF＝. 56－CF3

8答案：

3

6.

(2013·高考天津卷)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为________．

解析：因为AB∥DC，所以四边形ABCD是等腰梯形，所以BC＝AD＝AB＝5.又AE是切线，所以AE∥BD，AE2＝BE·EC＝4(4＋5)＝36，所以AE＝6.因为∠CDB＝∠BAE，∠BCD＝∠

5×615AEBE

ABE，所以△ABE∽△DCB，所以＝，于是BD＝＝.

DBBC42

15答案：

2

7．(2013·高考陕西卷)A.设a，b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的

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解集是________．

B.

如图， AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2, 则PE＝________.

2

??x＝t

C．圆锥曲线?(t为参数)的焦点坐标是________．

?y＝2t?

A．解析：因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.

答案：(－∞，＋∞)

B．解析：因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，

PDPE

所以△PDE∽△PEA，则＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝6. PEPA

答案：6

C．解析：将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4?p＝2，则焦点坐标为(1,0)．

答案：(1,0)

?x＝2s＋1?

7．(2013·高考湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：?，(s为参数)和

??y＝s?x＝at?

直线l2：?，(t为参数)平行，则常数a的值为________．

?y＝2t－1?

??x＝2s＋1，解析：由?消去参数s，得x＝2y＋1.

??y＝s，??x＝at，

由?消去参数t，得2x＝ay＋a. ??y＝2t－1，

21

∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.

a2

答案：4

π

0<θ

解析：∵圆心(0,0)到直线的距离为1，又∵圆O的半径为5，故圆上有4个点符合条件．

答案：4 9．(2013·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．

解析：先把极坐标方程化为普通方程，再把普通方程化为参数方程．ρ＝2cos θ化为普通

??x－1＝cos α，

方程为x＋y＝，即(x－1)＋y＝1，则其参数方程为?(α为参数)，

22x＋y?y＝sin α，?

2

2

2x

22

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??x＝cos α＋1即?(α为参数)．

y＝sin α??

??x＝cos α＋1答案：?(α为参数)

?y＝sin α?

10．(2013·高考广东卷)

(几何证明选讲选做题)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.

3

解析：法一：因为AB＝3，BC＝3，所以AC＝32＋?3?2＝23，tan∠BAC＝＝3，

3

ππ3333

所以∠BAC＝.在Rt△BAE中，AE＝ABcos ＝，则CE＝23－＝.在△ECD中，DE2

33222

331212133?2

＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos∠ECD＝?＋(3)2－2××3×＝，故DE＝. 2242?2?

法二：如图，作EM⊥AB交AB于点M，作EN⊥AD交AD于点N.因为AB＝3，BC＝3ππ3π31＝3，则∠BAC＝，AE＝ABcos ＝，NE＝AM＝AEcos＝×＝3323223

3π33339

，AN＝ME＝AEsin ＝×＝，ND＝3－＝.在Rt△DNE中，DE＝NE2＋ND2＝4322444?3?2＋?9?2＝21.

2?4??4?21

答案： 2

11．(2013·高考陕西卷)A.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________． 3，所以tan∠BAC＝

B．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.

C．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x＋y2－x＝0的参数方程为________． A．解析：∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2， ∴(am＋bn)(bm＋an) ＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2

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