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淮北师范大学2011届学士毕业论文 IIR数字滤波器的MATLAB实现
面，这个从s到z的变换z?esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。
j? jIm?z? 3?/T ?/T 0 ??/T ?3?/T S平面 z平面
图1脉冲响应不变法的映射关系
由（2-1）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为： H(ej?)?1T??k???Ha(j??2?kT) (2-2)
这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即：
Ha?(j?)?0 ???T??s2 (2-3)
才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即：
H(ej?)?1THa(j?T)
??? (2-4)
但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图2所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真
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就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。
图2脉冲响应不变法中的频响混叠现象
…o…Ha(jΩ)2πT－πoTπTj?2πT?H(e)－3?－2?－??2?3??＝??T对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs
增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应.
2.2脉冲响应不变法优缺点
从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。
脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以，脉冲响应不变 法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上
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的频率，然后再使用脉冲响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。
2.3用双线性变换法设计IIR数字滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=e转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图3所示。
j? j?1 jIm?z? x/T 0 ? 0 ?1 -1 0 1 ?x/T S平面 S1平面 Z平面
图3双线性变换的映射关系
sT为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上， 可以通过以下的正切变换实现
??2Ttan(?1T2) （2-5）
式中,T仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（2-5）写成
2e1?e1j???j?T/2j?T/2Te1?e18
j?T/2j?T/2
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将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j??s，j?1?s1，则得
2e1?e12s1T21?e1s??sT/2?tan()???s1T/2?sT 1Te?eT2T1?e1
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面z?esT从而得到S平面和Z
1sT/2?sT/2?sT平面的单值映射关系为：
21?z? s??1 （2-6） T1?z1?T2T2ss2?T2T?s?1 z?1? （2-7）
?s 式（2-6）与式（2-7）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都
是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。
式（2-5）与式（2-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先,把z?ej?，可得式（2-8）
s?21?eT1?e?j??j??j2Ttan(?2)?j? （2-8）
即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。
2Tz?其次，将s???j? 代入式（2-8），得 2T?2??????T??2??????T?22???j?
???j???2因此
z?
??2 由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得
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