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向量知识点归纳与常见题型总结

高三理科数学组全体成员 2018年11月 一、向量知识点归纳

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a＞b”错了，而|a|＞|b|才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（x,y）,其中x、y满足 x?y2 ＝1（可用（cos?,sin?）（0≤?≤2π）表示）.特别：

2AB|AB|??表示与AB同向的单位向量。

?例如：向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在

|AB||AC|直线)；

例1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满足OP?OA??(则点P的轨迹一定通过三角形的内心。

→→→→1ABACABAC→→→(变式)已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )

2→→→→|AB||AC||AB||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (18陕西)

⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.

（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。) 2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）

①当两个向量a和b不共线时，a?b的方向与a、b都不相同，且|a?b|＜|a|＋|b|； ②当两个向量a和b共线且同向时，a?b、a、b的方向都相同，且|a?b|?|a|?|b|； ③当向量a和b反向时，若|a|＞|b|，a?b与 a方向相同 ，且|a?b|=|a|-|b|； 若|a|＜|b|时,a?b与b 方向相同，且|a＋b|=|b|-|a|.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

AB?BC?AC;AB?AC?CB

ABAC?)???[0,??).|AB||AC

例2：P是三角形ABC内任一点，若CB??PA?PB,??R，则P一定在（ ）

A、?ABC内部 B、AC边所在的直线上 C、AB边上 D、BC边上 例3、若AB·BC?AB?0，则△ABC是：A.Rt△ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt△ 特别的：a?b?a?b?a?b,

例4、已知向量a?(cos?,sin?),b?(3,?1)，求|2a?b|的最大值。

分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。 解：原式=|(2cos??3,2sin??1)|?=8?8sin(??2???(2cos??3)2?(2sin??1)2 5?(k?Z)时，|2a?b|有最大值4. 6?3)。当且仅当??2k??评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|”就显得简洁明快。原式?|2a|?|b|=2|a|?|b|?2?1?2?4，但要注意等号成立的条件（向量同向）。

⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.

如，AB?BC?CA?0,（在△ABC中） AB?BC?CD?DA?0.(□ABCD中) ⑷判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．

如果两个非零向量a，b，使a=λb（λ∈R），那么a∥b； 反之，如a∥b，且b≠0，那么a=λb.

这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与λb的方向规定为平行. ⑸数量积的8个重要性质

①两向量的夹角为0≤?≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数. ②设a、b都是非零向量，e是单位向量，?是a与b的夹角，则

e?a?a?e?|a|?cos?.(?|e|?1)

③a?b?a?b?0（∵?=90°，cos??0)

④在实数运算中ab=0?a=0或b=0.而在向量运算中a?b=0?a=0或b=0是错误的，故a?0或b?0是a?b=0的充分而不必要条件. ⑤当a与b同向时a?b=|a|?|b|(?=0,cos?=1);

当a与b反向时，a?b=-|a|?|b|(?=π,cos?=-1)，即a∥b的另一个充要条件是

b不同向，a?b?0是?为锐角的必要|a?b|?|a|?|b|.当?为锐角时，a?b＞0，且a、非充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充

分条件；

例5.如已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是

????

______（答：???41或??0且??）； 33例6、已知i,j为相互垂直的单位向量，a?i?2j，b?i??j。且a与b的夹角为锐角，求实数?的取值范围。

分析：由数量积的定义易得“?a,b??a?b?0”，但要注意问题的等价性。 解：由a与b的夹角为锐角，得a?b?1?2??0.有??1. 2?t?1而当a?tb(t?0),即两向量同向共线时，有?得???2.此时其夹角不为锐角。

?t???21??故?????,?2????2,?.

2??评析：特别提醒的是：?a,b?是锐角与a?b?0不等价；同样?a,b?是钝角与a?b?0不等价。极易疏忽特例“共线”。 特殊情况有a?a?a=|a|。或|a|=a?a22=a=2x2?y2.

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

|a|=(x1?x2)2?(y1?y2)2

⑥|a?b|?|a|?|b|。（因cos??1） ⑦数量积不适合乘法结合律.

如(a?b)?c?a?(b?c).（因为(a?b)?c与c共线，而a?(b?c)与a共线） ⑧数量积的消去律不成立.

若a、b、c是非零向量且a?c?b?c并不能得到a?b这是因为向量不能作除数，即

1c是无意义的.

a?ba(6)向量b在a方向上的投影︱b︱cos?＝??

???(7) e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a??1e1??2e2(?1,?2唯一)

特别：. OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件. 注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线 例7、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若?三点共线（该直线不过点O），则S200＝（ ）

A．50 B. 51 C.100 D.101

例8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足

1BO＝a1OA＋a200OC，且A、B、C2OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______（直线AB）

?????????

例9、已知点A,,B,C的坐标分别是(3,1),(5,2),(2t,2?t).若存在实数?,

使OC??OA?(1??)OB,则t的值是:A. 0 B. 1 C. 0或1 D.不确定 例10下列条件中，能确定三点A,B,P不共线的是： ．．．

A．MP?sin220?MA?cos220?MB

B．MP?sec220?MA?tan220?MB

C．MP?sin220?MA?cos270?MB D．MP?csc231?MA?cot231?MB

分析：本题应知：“A,B,P共线，等价于存在?,??R,使MP??MA??MB且

。 ????1”

(8)①在?ABC中，PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地

3??1?PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心；AB?BC?AD则AD过三角形的重心；

2例11、设平面向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0。如果向量b1、满足bi?2ai，b2、b3，

?且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i?1,2,3，则（D）（18河南高考） A．?b1?b2?b3?0 Bb1?b2?b3?0 C．b1?b2?b3?0 D．b1?b2?b3?0 ②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；

③向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(?BAC的角分线所在直线)；

o|AB||AC|④|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；(选) ⑤S⊿AOB＝1xAyB?xByA;

2例12、若O是ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则ABC的形状为____（答：直角三角形）；

例13、若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有一点P，满足

PA?BP?CP?0，设

|AP|； ??，则?的值为___（答：2）

|PD|例14、若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则内角C为____（答：120）； (9)、 P分P1P2的比为?,则P1P=?PP2,?＞0内分;?＜0且?≠-1外分.

OP＝OP1??OP2;若λ＝1 则OP＝

1??1(OP+OP2);设P(x,y),P1(x1,y1), 12x1??x2?x?x2?x?x2?x3?x?,x?1,x?1,??????1??23P2(x2,y2)则?;中点?重心?

y??yy?y?yy?y123122?y??y??y?1...???3?1???2?说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和

分子分母的位置。

例15、已知A（4，-3），B（-2，6），点P在直线AB上，且|AB|?3|AP|，则P点的

??