2019春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数第2课时正弦与余弦教案1新版北师大版

1.1 锐角三角函数

第2课时正弦与余弦

1．理解正弦与余弦的概念；(重点)

2．能用正弦、余弦的知识，根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角．(难点)

一、情境导入

如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m，他的相对位置升高了5m.

如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了am呢？ 在上述情形中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？ 根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定了．

二、合作探究

探究点：正弦和余弦

【类型一】直接利用定义求正弦和余弦值 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA. 解析：利用勾股定理求出AC，然后根据正弦和余弦的定义计算即可．

W39OT8LreCGXh79zBHNW3o25vyDuaD8clpIYv5z5vxeXsBnCNViMHEey13jkuhhBuuBSpa4w7Hrw94DTb1GfkluHaaXrLfBdgDtY。解：由勾股定理得AC＝AB2－BC2＝132－52＝12，sinA＝

BC5AC＝，cosA＝＝AB13AB12.13NEmwOKyRUZm8oAsRyCrcuW4rrJZWhFYkIxQO1POJ1TF3lJ69sUQSyZNRzU44KBAe12qRJEQINIaAg15ICPtmO5MIJZe6LKYpir1j。方法总结：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，熟记三角函数的定义是解决问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】已知一个三角函数值求另一个三角函数值

ws0tHJHs83IqsjUk88cSdj0Blp5BcRn3WXGKu3AIgJSfpuBZPhsMUOMdso8hE5ghGEuuCaP5xtBtqLbRN6MUoA88ati5Vi4atAyL。

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值．

j3pBm0v7nVE27axxKUjSpHc7vxmnb5C4CeDhIaCCFURXnFcPA4SsaNQBQh5PD7VijAqTxfOAhGduQeJQkxM6c9UOo1rq4MYxYyEN。35解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答．

klNtGZqSNO7Z38IyN33mWfxPVvIDe28yYSFjXifnJX02DBmVu0arALH4NXxbgMELGy1atpAvOGDZevbk8N9dRHYcaAvZL36Wjfm5。35解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝

35AD2－CD2＝52－32＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝42＋52＝AC444141，∴sinB＝＝＝ .

AB4141FcD8mdllbYeaWhmQmPZaVK1VEjD94lLZAjZsvSszEbyxS19DRE6JuqrUbHt3zbgQceADiUltnpvKcu3Da0iqf2u9R4gOpp0tUIkD。方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结

合勾股定理是解答此类问题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型三】比较三角函数的大小 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是() A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D.

方法总结：当角度在0°<∠A<90°间变化时，0cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题 【类型四】与三角函数有关的探究性问题 在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边(除端点外)上的一点，设∠ADC＝α，∠B＝

β.

(1)猜想sinα与sinβ的大小关系； (2)试证明你的结论．

解析：(1)因为在△ABD中，∠ADC为△ABD的外角，可知∠ADC＞∠B，可猜想sinα＞sinβ；(2)利用三角函数的定义可求出sinα，sinβ的关系式即可得出结论．

解：(1)猜想：sinα＞sinβ；

pzvno1edoUPLp9UV0RT5wIAnvThP7JCIPi6eKO0LLbSNIjojA37HFzDHY7SuJp5Fi7V62FbcQ7jkPMEcvYe4CU2gFpfCVw2m6dvB。5zJUOW7U5pxTh45AAsm601VX6sLDUKTFpWExy6YHDIQlD4JtEAoVGPG4DLNlbtZlwRukqy2tuFtibAk2JiYjlYZzgzTMjCw9IuPL。BbiFMw0SocnsjU9plOT4O8IhaXkYYnx2BdBSmeBSJ8vVD3HdyBnY7nIst1vOc2T0FkQ6jh37c1kGDME6f6qmZyVev9olIMGGevgi。6ZPw2QFJNLffq265IYnY1FVD5QyVVauXmuy4HNkVtEFk2PAFYaT0v1rr4bqbhKODhiSWt1oUDsum0ABgfSXKgtrl36Zvm8DJQ13J。(2)∵∠C＝90°，∴sinα＝

ACACACAC，sinβ＝.∵AD＜AB，∴＞，即sinα＞sinADABADABβ.

GxesLwRrdip4aBIpcOlr05g1hZeN2BKHdjDHDjf7e1aghf1ZdsJGsvSAhdbMh3oCyHRRY0LSyecZU0K2YfzAR3fHq2pq8tPaDyIz。方法总结：利用三角函数的定义把两角的正弦值表示成线段的比，然后进行比较是解题

的关键．

【类型五】三角函数的综合应用

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.