2020届重庆市第一中学高三下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

的月份是12月的概率.

????a??bx?，其中b参考公式与数据：线性回归方程y?xyii?1nni?nxy?nx2?xi?12i，?xiyi?21.2.

i?15??0.32x?0.24；2.16（百台）【答案】（1）y；（2）P?1 5【解析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程计算对应的函数值；

（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值． 【详解】 （1）因为x?111?2?3?4?5?3y?，???0.6?0.8?1.2?1.6?1.8??1.2 55??21.2?5?3?1.2?0.32，则a??1.2?0.32?3?0.24， 所以b55?5?32??0.32x?0.24. 于是y关于x的回归直线方程为y??0.32?6?0.24?2.16（百台）. 当x?6时，y（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B，

从这6人中随机抽取3人的所有情况为?a,b,c?、?a,b,d?、?a,b,A?、?a,b,B?、?a,c,d?、

?a,c,A?、?a,c,B?、?a,d,A?、?a,d,B?、?a,A,B?、?b,c,d?、?b,c,A?、?b,c,B?、?b,d,A?、?b,d,B?、?b,A,B?、?c,d,A?、?c,d,B?、?c,A,B?、?d,A,B?，共20种，

恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有?a,A,B?、?b,A,B?、?c,A,B?、?d,A,B?，共4种， 故所求概率为P?【点睛】

本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题． 20．已知抛物线y?2px?p?0?，直线y?x?2是它的一条切线.

241?. 205（1）求p的值；

（2）若A?2,4?，过点p?m,0?作动直线交抛物线于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为常数，求实数m的值.

第 13 页 共 17 页

【答案】（1）p?4；（2）m??2

【解析】（1）联立拋物线与直线的方程，利用??0，解得p即可.

（2）设B?x1,y1?，C?x2,y2?，将kAB?kAC表示成关于y1，y2的表达式，设出过点

P?m,0?的动直线的方程，代入抛物线方程，结合韦达定理化简得到

kAB?kAC?【详解】

22（1）由y?x?2，得x?y?2，代入y?2px，得y?2py?4p?0，

8t?888，满足?时符合题意，解之即可.

4t?2?m42?m因为拋物线y?2px?p?0?与直线y?x?2相切，

2所以???2p??4?4p?0，解得p?4. （2）设B?x1,y1?，C?x2,y2?，

2则

kAB?kAC?8?y1?y2?8?y1?4y2?488????2y12y2y1?4y2?4y1y2?4?y1?y2??16. ?2?28822设过点P?m,0?的动直线的方程为x?ty?m，代入y?8x，得y?8ty?8m?0，

所以??64t2?32m?0，y1?y2?8t，y1y2??8m， 所以kAB?kAC?8?y1?y2?8?y1y2?4?y1?y2??16?8t?8.

4t?2?m若t变化，kAB?kAC为常数，则需满足【点睛】

88?，解得m??2. 42?m本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查了斜率公式，考查了韦达定理的应用，考查了运算能力，属于较难题．

21．设函数f(x)?ax2?(a?2)x?lnx(a?R). （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数f(x)恰有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(4?4ln2,??) 【解析】（1）f??x??2ax??a?2??1?2x?1??ax?1?，讨论a，求得单调性即可?xx（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解

第 14 页 共 17 页

【详解】

（1）因为f?x??ax??a?2?x?lnx，其定义域为?0,???，

2所以f??x??2ax??a?2??1?2x?1??ax?1??(x?0). xx①当a?0时，令f??x??0，得0?x?此时f?x?在?0,?上单调递减，在?11；令f??x??0，得x?， 22??1?2??1?,???上单调递增. ?2?②当?2?a?0时，令f??x??0，得0?x?11或x??；令f??x??0，得

a211?x??， 2a此时f?x?在?0,?，????1?2??1??11?,???上单调递减，在?,??上单调递增. ?a??2a?③当a??2时，f??x??0，此时f?x?在?0,???上单调递减. ④当a??2时，令f??x??0，得0?x??此时f?x?在?0,?1111 或x?；令f??x??0，得??x?，

a2a2??1??1??11?,??，上单调递减，在?????,?上单调递增.

a??2??a2??1?4?a?ln2. ??4?2?2（2）由（1）可知：①当a?0时，f?x?极小值?f?2易证lnx?x?1，所以f?x??ax??a?2?x?lnx?ax??a?1?x?1. 因为0?11?，

3?a?1?3?1?116a2?19a?12f??a???a?1???1??0， 22?3?a?1???3?a?1?9?a?1?9?a?1???f?1??2?0.

所以f?x?恰有两个不同的零点，只需f??1?4?a?ln2?0，解得a?4?4ln2. ??4?2?②当?2?a?0时，f???1??1?4?a?f?ln2?0，不符合题意. ????a24????③当a??2时，f?x?在?0,???上单调递减，不符合题意.

第 15 页 共 17 页

④当a??2时，由于f?x?在?0,???1??1??11?,???，??上单调递减，在??,?上单调递

a??2??a2?111?1??1?f????1??ln???，由于0???，

aa2?a??a?增，且f??1?4?a?ln2?0，又??24???1?ln????0， ?a?所以f??1?1??1??1??ln?????0，函数f?x?最多只有1个零点，与题意不符. aa???a?综上可知，a?4?4ln2，即a的取值范围为?4?4ln2,???. 【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想，是难题

22．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴正半轴重合,直线l的参数

?x?2?tcos????0,?)）方程为：?（t为参数，，曲线C的极坐标方程为:??4sin?.

?y?tsin?（1）写出曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于P,Q两点,直线l过定点M,若MP?MQ?42，求直线l的斜率.

【答案】（1）x?(y?2)?4；（2）?1.

2【解析】（1）由??4sin?，得??4?sin?，由此能求出曲线C的直角坐标方程；

22?x?2?tcos?22（2）把?代入x2??y?2??4，整理得t?4?cos??sin??t?4?0，

?y?tsin?由MP?MQ?t1?t2?t1?t2，得??【详解】

2（1）曲线C的极坐标方程为??4sin?，所以??4?sin?.

3?，能求出直线l的斜率． 4即x?y?4y，即x2??y?2??4.

222（2）把直线l的参数方程带入x2??y?2??4得t?4?cos??sin??t?4?0

22设此方程两根为t1,t2，易知M?2,0?,而定点M在圆C外，所以

MP?MQ?t1?t2?t1?t2，?4cos??sin??42，?cos??sin??2，第 16 页 共 17 页