2015年全国高考真题专题十 立体几何

前程教育 尽职尽责，育人为本

【考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解

【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以及二面角的求解，属于中档题，在解题时，应观察 各个直线与平面之间的位置关系，结合线面垂直的判定即可求解，在求二面角时，可以利用图形中的位置 关系，求得二面角的平面角，从而求解，在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识， 例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注. 25.【2015高考山东，理17】如图，在三棱台DEF?ABC中，AB?2DE,G,H分别为AC,BC的中点.

（Ⅰ）求证：BD//平面FGH； （Ⅱ）若CF?平面ABC，AB?BC,CF?DE ，?BAC?45? ,求平面FGH与平面ACFD 所成

的角（锐角）的大小.

【答案】（I）详见解析；（II）60 【解析】

试题分析：（I）思路一：连接DG,CD，设CD?GF??O，连接OH，先证明OH//BD，从而由直线与

平面平行的判定定理得BD//平面HDF；思路二：先证明平面 FGH行的定义得到BD//平面HDF.

//平面 ABED，再由平面与平面平

心态决定状态，细节决定成败 25

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（II）思路一：连接DG,CD，设CD?GF尽职尽责，育人为本

?O，连接OH，证明GB,GC,GD 两两垂直, 以G 为坐标

原点，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM?AC 于

点M ，作MN?GF 于点N ，连接NH，证明?MNH 即为所求的角，然后在三角形中求解.

试题解析：

(I)证法一：连接DG,CD，设CD?GF?O，连接OH，

在三棱台DEF?ABC中，

AB?2DE,G为AC的中点

可得DF//GC,DF?GC学优高考网 所以四边形DFCG为平行四边形 则O为CD的中点 又H为BC的中点 所以OH//BD

又OH?平面FGH, BD??平面FGH,

所以BD//平面FGH．

证法二： 在三棱台DEF?ABC中，

由BC?2EF,H为BC的中点

因为 BD?平面 ABED

心态决定状态，细节决定成败 26

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所以 BD//平面FGH （II）解法一： 设AB?2 ，则CF?1

在三棱台DEF?ABC中，

G为AC的中点

由DF?12AC?GC ， 可得四边形DGCF 为平行四边形， 因此DG//CF 又FC?平面ABC 所以DG?平面ABC

在?ABC中，由AB?BC,?BAC?45? ，G是AC中点，

所以AB?BC,GB?GC 因此GB,GC,GD 两两垂直,

以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G?xyz

所以G?0,0,0?,B?2,0,0?,C?0,2,0?,D?0,0,1?

可得H??2,2??22,0??,F0,2,1 ????故????GH???22??????2,2,0??,GF?0,2,1

????设?n??x,y,z? 是平面FGH 的一个法向量，则学优高考网

由???n???????GH????0, 可得??x?y?0???n?GF?0,?2y?z?0 ??心态决定状态，细节决定成败 27

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可得平面FGH 的一个法向量?n??1,?1,2?

????因为GB 是平面ACFD 的一个法向量，???GB???2,0,0?

所以cos????GB?,??????n??|???GBGB??n|?|?n|?2122?2 所以平面与平面所成的解(锐角)的大小为60? 解法二： 作HM?AC 于点M ，作MN?GF 于点N ，连接NH 由FC? 平面ABC ，得HM?FC

又FC?AC?C

所以HM?平面ACFD 因此GF?NH

所以?MNH 即为所求的角

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