专题四 功能关系在电学中的应用

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机械能守恒：mv B＝mg×2R＋mv D，联立解得：vB＝5gR，R越大，小球经过B点时的速度越大，则2215x越大，选项A正确；小球由A到B，由动能定理得：qEx＝mvB 2，将vB＝5gR代入得：qEx＝mgR，

22vB 2

知m越大，x越大，B正确；E越大，x越小，C错误；在B点有：FN－mg＝mR，将vB＝5gR代入得：FN＝6mg，选项D错误．

6．如图6所示，倾斜角度为θ的粗糙程度均匀的绝缘斜面，下方O点处有一带电量为＋Q的点电荷，质量为m、带电量为－q的小物体(可看成质点)与斜面间的动摩擦因数为μ.现使小物体以初速度v0从斜面上的A点沿斜面上滑，到达B点时速度为零，然后又下滑回到A点．小物体所带电荷量保持不变，静电力常量为k，重力加速度为g，OA＝OB＝l.求：

图6

(1)小物体沿斜面上滑经过AB中点时的加速度； (2)小物体返回到斜面上的A点时的速度．

μkQq2答案 (1)g(sin θ＋μcos θ)＋22 (2)4glsin 2θ－v 0 mlsinθ解析 (1)FN＝mgcos θ＋

kQq

mgsin θ＋μFN＝ma

?lsin θ?2kQq

??lsin θ?2μkQq

＝g(sin θ＋μcos θ)＋22. mlsinθ

mgsin θ＋μ?mgcos θ＋

得：a＝

m

12

(2)从A到B，由动能定理得： 0－mv 0＝－mglsin 2θ＋Wf 2

1

从B到A，由动能定理得： mv2＝mglsin 2θ＋Wf 得：v＝4glsin 2θ－v20 2

7．(2014·新课标Ⅰ·25)如图7所示，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA＝60°，3

OB＝OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点．使

2此小球带电，电荷量为q(q>0)，同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g.求：

图7

(1)无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值； (2)电场强度的大小和方向．

3mg7

答案 (1) (2) 电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°

36q

3

解析 (1)设小球的初速度为v0，初动能为Ek0，从O点运动到A点的时间为t，令OA＝d，则OB＝d，

2112

根据平抛运动的规律有 dsin 60°＝v0t① dcos 60°＝gt2② 又有Ek0＝mv 0③ 22

EkA731

由①②③式得Ek0＝mgd④ 设小球到达A点时的动能为EkA，则 EkA＝Ek0＋mgd⑤ 由④⑤式得＝ 82Ek03d3d

(2)加电场后，小球从O点到A点和B点，高度分别降低了和，设电势能分别减小ΔEpA和ΔEpB，由能

22123

量守恒及④式得 ΔEpA＝3Ek0－Ek0－mgd＝Ek0⑦ ΔEpB＝6Ek0－Ek0－mgd＝Ek0⑧

232

在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的．设直线OB上的M点与A点等电势，M与O点的距离为x，如图，则有

xΔEpA＝⑨ 3ΔEpBd2

解得x＝d，MA为等势线，电场强度方向必与其垂线OC方向平行．设电场强度方向与竖直向下的方向的夹角为α，由几何关系可得α＝30°⑩ 即电场强度方向与竖直向下的方向的夹角为30°. 设电场强度的大小为E，有qEdcos 30°＝ΔEpA? 由④⑦?式得E＝题组3 功能观点在电磁感应问题中的应用

8．在如图8所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度v1做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v2做匀速直线运动，从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量为ΔEk，重力对线框做功大小为W1，安培力对线框做功大小为W2，下列说法中正确的是( )

3mg

6q

图8

A．在下滑过程中，由于重力做正功，所以有v2>v1

B．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，机械能守恒

C．从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，有(W1－ΔEk)机械能转化为电能 D．从ab进入GH到MN到JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量为ΔEk＝W1－W2 答案 CD

B2L2v14B2L2v2解析 由平衡条件，第一次匀速运动时，mgsin θ＝R，第二次匀速运动时，mgsin θ＝R，则v2

能，且W2＝W1－ΔEk，选项C正确．

9．如图9所示，电阻不计的刚性U型金属导轨放在光滑水平面上，导轨上连有电阻R.质量为m、电阻不计的金属杆ab可在导轨上滑动，滑动时保持与导轨垂直．金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.导轨右边的左方为一个匀强磁场区域，磁场方向垂直于水平面，导轨的右边恰在匀强磁场右边边界处．现有一位于导轨平面内且与导轨平行的向右方向的拉力作用于金属杆ab上，使之从静止开始在导轨上向右做加速运动．已知拉力的功率恒为P，经过时间t，金属杆在导轨上相对导轨向右滑动的位移为x，重力加速度为g.在此过程中，下列说法正确的是( )

图9

A．拉力做的功为Pt＋μmgx

B．电阻R中所产生的电能为Pt－μmgx C．金属杆克服安培力做的功为Pt

D．金属杆和导轨之间由于摩擦而产生的热量为μmgx 答案 D

解析 因为拉力的功率恒为P，则拉力做功的大小W＝Pt，故A错误．根据能量守恒知，拉力做功一部分1

转化为金属杆的动能，一部分转化为电阻R上产生的电能，还有一部分转化为摩擦产生的内能，即Pt＝

211

mv2＋Q＋W电，可知W电＝Pt－Q－mv2＝Pt－μmgx－mv2，故B错误．拉力做功的大小与金属杆克服

22安培力做功的大小不等，则克服安培力做功不等于Pt，故C错误．因为金属杆和导轨间的相对路程为x，则摩擦产生的热量为μmgx，故D正确．

题组4 应用动力学和功能观点处理电学综合问题

10．如图10所示，在A点固定一正电荷，电量为Q，在离A高度为H的C处由静止释放某带同种电荷的液珠，开始运动瞬间的加速度大小恰好为重力加速度g.已知静电力常量为k，两电荷均可看成点电荷，不计空气阻力．求：

图10

(1)液珠的比荷；

(2)液珠速度最大时离A点的距离h；

kQ

(3)若已知在点电荷Q的电场中，某点的电势可表示成φ＝r，其中r为该点到Q的距离(选无限远处的电势为零)．求液珠能到达的最高点B离A点的高度rB. 2gH2

答案 (1)kQ (2)2H (3)2H

解析 (1)液珠开始运动的加速度大小为g，可知液珠在C处释放时加速度方向向上，设液珠的电量为q，Qq

质量为m，有k2－mg＝mg

Hq2gH2

解得比荷为＝

mkQ

(2)当液珠速度最大时，库仑力与重力相等，有 k

Qq

＝mg， h2结合(1)，解得h＝2H. (3)设CB间的电势差为UCB，有 UCB＝φC－φB＝

kQkQ－， HrB

根据动能定理有qUCB－mg(rB－H)＝0 解得rB＝2H.