2000年第17届物理竞赛复赛试题

传播．由点O出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为?0，如图复17-6-1所示．最后光从另一端面出射进入流体

F．在距出射端面h1处放置一垂直于光纤

轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d1，然后移动光屏D至距光纤出射端面h2处，再测出圆形光斑的直径

d2，如图复17-6-2所示．

1．若已知A和B的折射率分别为nA与

nB，求被测流体F的折射率nF的表达式．

2．若nA、nB和?0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值?

解：1．由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图复解17-6-1为纵剖面内的光路图，设由O点发出的与轴的夹角为?的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i．该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为?．若该光线折射后的折射角为?，则由几何关系和折射定律可得

i???90? （1）

nAsin??nFsin? （2）

当i大于全反射临界角iC时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面，而i?iC的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了．因而

能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于iC，iC的值由下式决定

nAsiniC?nB （3）

与iC对应的?值为

?C?90??iC （4）

当

?0??C时

2，即

222sin?0?sin?C?cosiC?1?siniC?1?(nB/nA)时，或

nAsin?0?nA?nB时，由O发出的光束中，只有???C的光线才满足i?iC的条件，才能射

向端面，此时出射端面处?的最大值为

?max??C?90??iC （5）

若?0??C，即nAsin?0?nA?nB时，则由O发出的光线都能满足i?iC的条件，因而都能

22射向端面，此时出射端面处?的最大值为

?max??0 端面处入射角?最大时，折射角?也达最大值，设为?max，由（2）式可知

nFsin?max?nAsin?max 由（6）、（7）式可得，当?0??C时

nnAsin?0F?sin? max由（3）至（7）式可得，当?0??C时

n2AcosiCnA?n2nBF?sin?? maxsin?max?max的数值可由图复解17-6-2上的几何关系求得

sin?d2?d1)/2max?( ?(d2?d1)/2?2?(h)22?h1

于是nF的表达式应为

2 n?(d22?d1)/2??(h2?h1)F?nAsin?0(d （a0?aC） 2?d1)/2/2?2?(h2 n2?h1)F?n2?(d2?d1)A?n2B(d2?d（a0?aC） 1)/2 6）

7）

8）

9）

10）

11）

12）

（（（（（（（

2. 可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得h1?、h2?、

d1?、d2?，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同．已知空气的折射率等于1，故有

?(d??d?)/2??(h??h?)2121?2?(d2??d1?)/222当a0?aC时 1?nAsin?0 （13）

当a0?aC时 1?nA?nB22?(d??d?)/2??(h??h?)2121?2?(d2??d1?)/2 （14）

将（11）、（12）两式分别与（13）、（14）相除，均得 nF?d2??d1?d2?d1?(d2?d1)/2?2?(h2?h1)2?(d??d?)/2??(h??h?)2121?2?2 （15）

这结果适用于?0为任何值的情况。 评分标准：本题25分

1. 18分。（8）式、（9）式各6分，求得（11）式、（12）式再各给3分

2. 7分。（13）式、（14）式各2分，求得（15）式再给3分。如果利用已知其折射率的液体代替空气，结果正确，照样给分。