2000年第17届物理竞赛复赛试题

带电质点到达磁场区域下边界时，y?L?0.80m，代入（11）式，再代入有关数值，解得

t?0.31s （12） 将（12）式代入（10）式，再代入有关数值得

x?0.63m （13） 所以带电质点离开磁场下边界时的位置的坐标为

x?0.63m y?0.80m z?0 （14）

带电质点在磁场内的运动可分解成一个速率为v的匀速圆周运动和一个速率为v0的沿x轴正方向的匀速直线运动，任何时刻t，带电质点的速度V便是匀速圆周运动速度v与匀速直线运动的速度v0的合速度．若圆周运动的速度在x方向和y方向的分量为vx、vy，则质点合速度在x方向和y方向的分速度分别为

Vx?vx?v0 （15）

Vy?vy （16）

22虽然vx?vy?v，v由（5）式决定，其大小是恒定不变的，v0由（4）式决定，也是恒定不

变的，但在质点运动过程中因v的方向不断变化，它在x方向和y方向的分量vx和vy都随时间变化，因此Vx和Vy也随时间变化，取决于所考察时刻质点做圆周运动速度的方向，由于圆周运动的圆心的y坐标恰为磁场区域宽度的一半，由对称性可知，带电质点离开磁场下边缘时，圆周运动的速度方向应指向右下方，与x轴正方向夹角?'? vx?vcos?'?2.0m?s－1 vy?vsin?'?2.0m?s－1

将以上两式及（5）式代入（15）、（16）式，便得带电质点刚离开磁场区域时的速度分量，它们分别为

Vx?4.0m?s－1 （17）

－1 Vy?2.0m?s （18）

?4，故代入数值得

速度大小为

V?Vx2?Vy2?4.5m?s－1 （19） 设V的方向与x轴的夹角为?，如图复解17-5-2所示，则

tan??VyVx?12

得 ??27? （20） 评分标准：本题25分

（4）式5分，求得（5）、（6）式各给3分，求得（10）、（11）式各给2分，（14）式3分，（19）式5分，求得（20）式再给2分。

解法二：若以带电质点到达坐标原点O的时刻作为起始时刻（t?0），则质点的初速度为

v1?2g|y|?2.0m?s－1 （1?）

方向沿y轴正方向．进入磁场区后，带电质点将受到洛伦兹力作用，洛伦兹力在x方向的分力取决于质点在y方向的分速度，因此质点动量在x方向的分量的增量为

m?vx?qvyB?t?qB?y （2?）

?y是带电质点在?t时间内沿y方向的位移，质点在磁场中运动的整个过程中，此式对每一段

?t时间都成立，所以在t?0到t?t时间内x方向的动量的改变为

mvx?mv0x?qB(y?y0)

因初始时刻（t?0），带电质点在x轴方向的动量mv0x为零，其位置在原点，y0?0，因而得

mvx?qyB 即 vx?

qBmy （3?）

当带电质点具有x方向的速度后，便立即受到沿y负方向的洛伦兹力的作用．根据牛顿第

二定律，在y方向上有加速度ay

may?mg?qvxB （4?） 将（3?）式代入（4?）式，得

2?(qB)2???my?g may???? （5?） ??22qB?m???令 y'?y?D （6?） 式中

D?mg(qB)22?g(q/m)B22?0.40m （7?）

即在y方向作用于带电质点的合力 Fy??ky' 其中 k?qBm22

Fy是准弹性力，在Fy作用下，带电质点在y'方向的运动是简谐振动，振动的圆频率

2 ???qB?－1???5.0rad?s （8?） ?m?

y'随时间变化的规律为

y'?Acos(?t??0) （9?） 或

y'?Acos(?t??0)?D （10?）

A与?0是待求的常量，质点的简谐运动可以用参考圆来描

写，以所考察的简谐运动的振幅A为半径作一圆，过圆心O1作一直角坐标x'O1y'．若有一质点M沿此圆周做匀速率圆周运动，运动的角速度等于所考察简谐运动的角频率?，且按逆时针方向转动，在t?0时刻，M点的在圆周上的位置恰使连线O1M与y'轴的夹角等于（9?）式中的常量?0，则在任意时刻t，O1与M的连线与y'轴的夹角等于?t??0，

于是连线O1M在y'轴上的投影即为（9?）式所示的简谐振动，将x'轴平行下移D?0.40m，连线O1M在y轴的投影即如（10?）式所示（参看图复解17-5-3），M点做圆周运动的速度大小v?A?，方向与O1M垂直，速度v的y分量就是带电质点沿y轴做简谐运动的速度，即 vy??A?sin(?t??0) （11?） （10?）和（11?）两式中的A和?0可由下面的方法求得：因为已知在t?0时，带电质点位于y?0处，速度vy?v1，把这个条件代入（10?）式与（11?）式得 Acos?0?D?0 v1??A?sin?0

解上面两式，结合(1?)、(8?)式，注意到振幅A总是正的，故得 ?0?5?4 A?0.56m (13?)

(12?)

把（10?）式代入(3?)式，便得带电质点沿x轴运动的速度

vx??D?A?cos(?t??0) (14?) （14?）式表示带电质点在x方向上的速度是由两个速度合成的，即沿x方向的匀速运动速度

?D和x方向的简谐振动速度A?cos(?t??0)的合成，带电质点沿x方向的匀速运动的位移

x'??Dt （15?）

由沿x方向的简谐振动速度A?cos(?t??0)可知，沿x方向振动位移的振幅等于速度的最大值与角频率的比值（参看图复解17-5-3），即等于A．由参考圆方法可知，沿x方向的振动的位移x''具有如下的形式 Acos??t??0???????Asin(?t??0) 2?它可能是x''?Asin(?t??0)，亦可能是x''?b?Asin(?t??0)．在本题中，t?0时刻，x应为零，故前一表示式不符合题意．后一表示式中，b应取的值为b??Asin?0，故有 x''??Asin?0?Asin(?t??0) （16?） 带电质点在x方向的合位移x?x'?x''，由（15?）、（16?）式，得

x??Dt?Asin?0?Asin(?t??0) （17?）

（17?）、（10?）、（14?）和（11?）式分别给出了带电质点在离开磁场区域前任何时刻t的位置坐标和速度的x分量和y分量，式中常量?、A、?0、D已分别由（8?）、（13?）、（12?）和（7?）式给出．

当带电质点达到磁场的下边界时，

y?L??0.80m （18?） 将与（10?）式有关的数据代入（10?）式，可解得

t?0.31s （19?） 代入（17?）式，得

x?0.63m （20?）

将（19?）式分别代入（14?）式与（11?）式，得

vx?4.0m?s速度大小为

V?速度方向为

?vy? ??arctan???27? （22?）

v?x?－1－1 vy?2.0m?s

vx?vy?4.5m?s22－1 （21?）

评分标准：本题25分

（7?）式2分，（8?）式3分，（10?）式2分，（11?）式2分，（12?）式3分，（13?）式3分，（14?）式2分，（17?）式3分，（20?）式3分，（21?）式1分，（22?）式1分。

六、（25分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组

成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体F的折射率．实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心O，经端面折射进入光纤，在光纤中