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第十七届全国中学生物理竞赛复赛试题、参考答案
全卷共六题，总分140分
2000年
一、（20分）在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度l?76cm，管内封闭有n?1.0?10－3mol的空气，保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃，问在此过程中管内空气放出的热量为多少？已知管外大气的压强为76cm汞柱高，每摩尔空气的内能U?CVT，其中T为绝对温度，常量CV?20.5J?(mol?K)－1，普适气体常量R?8.31J?(mol?K)－1。
解：设玻璃管内空气柱的长度为h，大气压强为p0，管内空气的压强
为p，水银密度为?，重力加速度为g，由图复解17-1-1可知 p?(l?h)?g?p0 （1） 根据题给的数据，可知p0?l?g，得
p??gh （2）
若玻璃管的横截面积为S，则管内空气的体积为
V?Sh （3） 由（2）、（3）式得 p?VSV2?g （4）
即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程pV?nRT得 ?gS?nRT （5）
由（5）式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根据（4）式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为p?V图上过原点的直线，如图复解17-1-2所示．在管内气体的温度由T1降到T2的过程中，气体的体积由V1变到V2，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有
V?VW??g?1?22S?S1?V12?V22??? （6） ?(V1?V2)??g?2S???管内空气内能的变化
?U?nCV(T2?T1) （7）
设Q为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律W?Q??U，有
Q??U?W （8） 由（5）、（6）、（7）、（8）式代入得 Q?n(T2?T1)?CV???1?R? （9） 2?代入有关数据得
Q??0.247 JQ?0表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为
Q???Q?0.247 J （10）
评分标准：本题20分
（1）式1分，（4）式5分，（6）式7分，（7）式1分，（8）式2分，（9）式1分，（10）式3分。
二、（20分）如图复17-2所示，在真空中有一个折射率为n（n?n0，n0为真空的折射率）、半径为r的质地均匀的小球。频率为?的细激光束在真空中沿直线BC传播，直线BC与小球球心O的距离为l（l?r），光束于小球体表面的点C点经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点D点又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小．
解：在由直线BC与小球球心O所确定的平面中，激光光束两次折射的光路BCDE如图复解
17-2所示，图中入射光线BC与出射光线DE的延长线交于G，按照光的折射定律有
n0sin??nsin? （1） 式中?与?分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知 sin??lr （2）
激光光束经两次折射，频率?保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小p和p?相等，即
p?h?c?p? （3）
式中c为真空中的光速，h为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量p沿BC方向，射出小球的光束中光子的动量p?沿DE方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度2?，由图中几何
关系可知
2??2(???) （4） 若取线段GN1的长度正比于光子动量p，GN2的长度正比于光子动量p?，则线段N1N2的长度正比于光子动量的改变量?p，由几何关系得 ?p?2psin??2h?csin? （5）
?GN1N2为等腰三角形，其底边上的高GH与CD平行，故光子动量的改变量?p的方向
沿垂直CD的方向，且由G指向球心O．
光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即 ?t?2rcos?cn0/n （6）
式中cn0/n是光在小球内的传播速率。
按照牛顿第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小为 f??p?t?n0h?sin?nrcos? （7）
按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小F?f，即 F?n0h?sin?nrcos? （8）
力的方向由点O指向点G．由（1）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最后可得
n0lh?? F??1?2nr???? （9） 22(nr/n0)?l??r?l22评分标准：本题20分
（1）式1分，（5）式8分，（6）式4分，（8）式3分，得到（9）式再给4分。 三、（25分）1995年，美国费米国家实验室CDF实验组和DO实验组在质子反质子对撞机TEVATRON的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量m1?1.75?1011eV/c2?3.1?10－25kg，寿命
??0.4?10－24s，这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一．
4aS3r 1．正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为U(r)??k，式中r是正、反顶夸克之
间的距离，aS?0.12是强相互作用耦合常数，k是与单位制有关的常数，在国际单位制中
k?0.319?10－25J?m．为估算正、反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状
态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动．如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正、反顶夸克之间的距离r0．已知处于束缚态的
正、反夸克粒子满足量子化条件，即 2mv?h?r0??n?2??2?n?1,2,?3,
式中mv?r0?r0?－34为一个粒子的动量与其轨道半径的乘积，n为量子数，h?6.63?10J?smv?22??为普朗克常量．
2．试求正、反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T．你认为正、反顶夸
克的这种束缚态能存在吗?
解：1．相距为r的电量为Q1与Q2的两点电荷之间的库仑力FQ与电势能UQ公式为
FQ＝kQQ1Q2r2 UQ??kQQ1Q2r （1）
现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为 U(r)??k4aS3r4aS3r2
根据直接类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为 F(r)??k （2）
设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为v，因二者相距r0，二者所受的向心力均为F(r0)，二者的运动方程均为
mtv2
r0/2?k4aS23r0 （3）
由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数n?1，得 2mtv?h?r0? （4） ???2?2?由（3）、（4）两式解得 r0?代入数值得
r0?1.4?10－17m （6）
2. 由（3）与（4）两式得 v????kh?4aS?? （7） 3?3h228?mtaSk （5）
由v和r0可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期T T?2?(r0/2)vh232?2?mt(k4aS/3) （8）
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