第7章 线性离散控制系统的分析 参考答案

第七章 习题与答案

7-1 离散控制系统由哪些基本环节组成？

答：离散控制系统由连续的控制对象，离散的控制器，采样器和保持器等几个环节组成。 7-2 香农采样定理的意义是什么？

答：香农采样定理给出了采样周期的一个上限。 7-3 什么是采样或采样过程？

答：采样或采样过程，就是抽取连续信号在离散时间瞬时值序列的过程，有时也称为离散化过程。

7-4 写出零阶保持器的传递函数，引入零阶保持器对系统开环传递函数的极点有何影响？ 1?e?Ts答：零阶保持器的传递函数为H0(s)?。零阶保持器的引入并不影响开环系统

s脉冲传递函数的极点。

7-5 线性离散控制系统稳定的充要条件是什么？

答：线性离散控制系统稳定的充要条件是： 闭环系统特征方程的所有根的模zi?1，即闭环脉冲传递函数的极点均位于z平面的单位圆内。 7-6 求下列函数的z变换F(z)。 (1) f(t)?(t?5T)2

解：Z[f(t)]?Z[(t?5T)]?zZ[t]?z2?52?5T2(z?1)z?4t2 2!Z[]?32!(z?1)(2) f(t)?te?at

解：令f(t)?t，查表可得

F(z)?Z[t]?根据复数位移定理，有

Tz(z?1)2

Z[te7-7 求下列函数的z反变换。 5z2?17z(1)F(z)?

(z?5)(z?1)?at]?F(ze)?aTTzeaT(zeaT?1)2

解：首先将

F(z)展开成部分分式，即 zF(z)5z?1732??? z(z?1)(z?5)z?1z?53z2z ?z?1z?5把部分分式中的每一项乘上因子z后，得

F(z)?查z变换表得

Z?1[最后可得

zz]?1，Z?1[]?5n z?1z?5f(nT)?3?2?5n,n?0,1,2,?

(2) F(z)?

z2?1.5z?0.5F(z)解：首先将展开成部分分式，即

zF(z)z21??? z(z?1)(z?0.55)z?1z?0.5把部分分式中的每一项乘上因子z后，得

z2F(z)?查z变换表得

2zz ?z?1z?0.5Z?1[最后可得

zz]?1，Z?1[]?(0.5)n z?1z?0.5f(nT)?2?(0.5)n,n?0,1,2,?

z37-8设z变换函数为E(z)?，试利用终值定理确定e(?)。 2(z?1)(z?7z?5) 解：由终值定理得

e(?)?lim(z?1)E(z)?lim(z?1)z?1z?1z3(z?1)(z2?7z?5)?limz?1z3(z2?7z?5)?1 137-9 用z变换法求解下列差分方程。 (1) c(k?2)?8c(k?1)?12c(k)?0，，c(0)?0，c(1)?1

解：将差分方程取z变换，得到

[z2C(z)?z2c(0)?zc(1)]?8[zC(z)?zc(0)]?12C(z)?0

z2(z?8z?12)C(z)?

z?12C(z)?z2(z?1)(z2?8z?12)z2 ?(z?1)(z?2)(z?6)z/5z/23z/10???z?1z?2z?6查z变换表，求出z反变换得

113 c(kT)?(1)k?(2)k?(6)k (k?0,1,2,3,?)

5210(2) c(k?2)?2c(k?1)?c(k)?r(k)，c(0)?c(1)?0，r(k)?k(k?0,1,2,?)

解：将差分方程取z变换，得到

[z2C(z)?z2c(0)?zc(1)]?2[zC(z)?zc(0)]?C(z)?z(z?1)2

(z?2z?1)C(z)?2z2(z?1)2

C(z)?1zzzz?[???] 22224z?1z?1(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)z2查z变换表，求出z反变换得

11 c(kT)?[k?1?kcosk??cosk?]?(k?1)(1?cosk?) (k?0,1,2,3,?)

447-10 已知某离散控制系统的差分方程为c(k?2)?3c(k?1)?4c(k)?r(k?1)?r(k)，求该系的脉冲传递函数。

解：利用z变换性质，在零初始条件下，可得

z2C(z)?3zC(z)?4C(z)?zR(z)?R(z)

整理后，可得脉冲传递函数

C(z)z?1?2 R(z)z?3z?47-11设开环离散系统如图7.11 和图7.12所示，其中G1(s)?1/s,G2(s)?a/(s?a)，输入信号r(t)?1(t)，试求两种系统的脉冲传递函数G(z)和输出的z变换C(z)。

解：查z变换表，输入r(t)?1(t)的z变换为

R(z)?对如图7.11所示系统

z z?11zG1(z)?Z[]?sz?1

aazG2(z)?Z[]?s?az?e?aT因此

az2G(z)?G1(z)G2(z)? ?aT(z?1)(z?e)az3C(z)?G(z)R(z)?

(z?1)2(z?e?aT)对如图7.12所示系统

G1(s)G2(s)?a

s(s?a)z(1?e?aT)aG(z)?G1G2(z)?Z[]?

s(s?a)(z?1)(z?e?aT)C(z)?G(z)R(z)?z2(1?e?aT)(z?1)(z?e2?aT)

显然，在串联环节之间有、无同步采样开关隔离时，其总的脉冲传递函数和输出z变换是不相同的。但是，不同之处仅表现在其开环零点不同，极点仍然一样。

17-12 已知离散控制系统的结构如图7.27所示，采样周期T=0.2s，输入信号r(t)?1?t?t2，

2求该系统的稳态误差。

r(t)e(t)1?e?Tss10(0.5s?1)s2c(t)

图7.27 题7-12图 解：1.先判定系统稳定性： 系统开环脉冲传递函数为

21?e?Ts10(0.5s?1)5s?101.2(z?3)?1 G(z)?Z[G(s)]?Z[]?(1?z)Z[]?232sss(z?1)则闭环脉冲传递函数为

?(z)?C(z)G(z)1.2z?0.8??2 R(z)1?G(z)z?0.8z?0.2特征方程为：

D(z)?z2?0.8z?0.2?0

由Z域稳定性直接判别法，因

D(z)?0.2?1 D(1)?1?0.8?0.2?0.4?0 D(?1)?1?0.8(?1)?0.2?2?0

所以系统是稳定的，可以求取系统的稳态误差。 2.求系统稳态误差

由G(z)可知系统为II型系统，对阶跃输入及速度输入稳态误差为零。

1.2(1?2)3?0.4 Ka?lim(z?1)z?1(z?1)22e(?)?0?0?

0.04?0.1 0.4