2020-2021学年度重庆市高三4月调研测试(二诊)数学试题(理)及答案

（1）求椭圆E的方程；

（2）过F2作两条互相垂直的直线l1与l2（均不与x轴重合）分别与椭圆E交于A，B，C，D四点，线段AB、CD的中点分别为M、N，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 21.已知函数f(x)?lnx，g(x)?ax?bx（a?0，b?R）.

2（1）若a?2，b?3，求函数F(x)?f(x)?g(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))，记x0?x1?x2，记f'(x)，2g'(x)分别是f(x)，g(x)的导函数，证明：f'(x0)?g'(x0)．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

?x?t2,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建

y?2t?立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??5cos?． （1）写出曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

（2）记曲线C1和C2在第一象限内的交点为A，点B在曲线C1上，且?AOB?23.选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?|x?2|?|x?a|．

（1）若关于x的不等式f(x)?a有解，求实数a的取值范围； （2）若正实数m，n满足m?2n?a，当a取（1）中最大值时，求

2?2，求?AOB的面积．

11?的最小值． mn

普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学答案

一、选择题

1-5:BABBC 6-10:AADCC 11、12：DB 二、填空题

13.64 14.[?,??) 15.36 16.43 三、解答题

17.解：（1）f(x)?cos(2x?令2k??13?6)?sin2x?312?cos2x?sin2x?sin2x?sin(2x?)， 223?2?2x?2?3??5??2k???x?k??，解得k??，k?Z， 321212单调递减区间为[k??（2）sin(C??12,k??5?]，k?Z． 122?12?5??)?，C??，C?， 32366AB?8，r?4，外接圆面积S?16?． sinC外接圆直径2r?18.解：（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表：

估计小刘平均每天用车费用为14?0.2?16?0.36?18?0.24?20?0.16?22?0.04?16.96． （2）?可能的取值为0,1,2，

用时不超过45分钟的概率为0.8，?~B(2,0.8)，

012P(??0)?C20.80?0.22?0.04，P(??1)?C20.81?0.21?0.32，P(??2)?C20.82?0.20?0.64，

? P E(?)?2?0.8?1.6．

0 0.04 1 0.32 2 0.64 19.解：（1）设AB?8，则A1M?3，AN?2，A1N?6，tan?NEA?AN1?， AE2tan?MNA1?又?NEA?A1M1?，?NEA??MNA1， AN2??ENA，所以?MNA1??2?2??ENA，MN?EN，

BC?AC，CE?AB，ABC?A1B1C1为直三棱柱，∴CE?平面AA1B1B，

∴MN?CE，MN?平面CEN，平面CMN?平面CEN．

uruuuruuuruuu3252CA，z轴建立空间直角坐标系，（2）由AC?BC，以C为原点CB，M(,,8)，CC1分别为x，y，

22N(0,42,2)，

ur设平面CMN的法向量为n1?(x,y,z)，

uruuuurur??n1?CM?0,由?u解得n1?(92,2,?4)． ruuur??n1?CN?0,uur平面CNA1的法向量n2?(1,0,0)，

uruurn?n2310r1uur?设所求二面角平面角为?，cos??u．

10|n1|?|n2|x02y02a2y022220.解：（1）设P(x0,y0)，由题2?2?1，整理得x0?a??， 2abb4y0y3?0??，整理得x02?a2??y02， x0?ax0?a43结合c?1，得a?4，b?3，

22x2y2??1． 所求椭圆方程为43（2）设直线AB：y?k(x?1)，联立椭圆方程3x?4y?12，得(4k?3)x?8kx?4k?12?0，

22222218k24k23k?2得xM??2，yM?k(xM?1)??2，

24k?34k?34k?3413?(?)2413kkk∴xN?，， ?y??(x?1)???NN2244k?34?3k?34?3k22kk由题，若直线AB关于x轴对称后得到直线A'B'，则得到的直线M'N'与MN关于x轴对称，所以若直线

MN经过定点，该定点一定是直线M'N'与MN的交点，该点必在x轴上．

uuuruuuur设该点为P(s,0)，MP?(s?xM,?yM)，NM?(xM?xN,yM?yN)， uuuruuuur4xy?xMyN由MP//NM，得s?NM，代入M，N坐标化简得s?，

yM?yN7经过定点为(,0)．

21.解：（1）F(x)?lnx?2x?3x，F'(x)?24

7

1(4x?1)(x?1)?4x?3??， xx11F(x)在(0,)上单调递增，在(,??)上单调递减．

441?2ax02?bx01?(2ax0?b)?（2）f'(x0)?g'(x0)?， x0x0x1?x22x1?x22?a(x1?x2)2?b(x1?x2)1?2ax0?bx0?1?2a()?b?，

2222ax12?bx1?lnx1，ax22?bx2?lnx2，

a(x1?x2)(x1?x2)?b(x1?x2)?lnx1x1，即a(x1?x2)?b?ln1， x2x1?x2x2