概率论模拟试题及答案

1、 （12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障

则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。

2、 （12分）将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输

出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。

答 案（模拟试题四）

一、填空题（每题3分，共42分）

1、 0.4 ； 0.8421 。 2、 0.12 。 3、e， 4e。

?3?31?,?2 4、1/2，1/?， ?(x)???9?x?0,?5、3， 5 ， 0.6286 。 6、 2.333 。

27、3/?, ?U,V? 3/5 。

?3?x?3其他。

二、计算题（30分）

1、解 （18分）

（1）

?X(x)??Y(x)???x?1/2,0?x?1

?0,其他（2） 不独立。

?3z2,0?z?1（3） ?Z(z)??

?0,其他 2、解 （1）求Z的分布律；

P(Z?0)?P(X?0,Y?1)?P(X?1,Y?0)?2pq P(Z?1)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?p?q （2）(X，Z)的联合分布律：

0 1 ZX 0 1 pq q 2 pq p 2pq p?q 22222 q p （3）当 p?0.5时，X与Z独立。

三、应用题（24分）

1、（12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。（5.216万元） 解：设X表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则X～B(5,0.2)，分布律为：

kk5?k P(X?k)?C50.20.8,k?0,1,...,5

设Y（万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y的分布律

?10,X?0,P(X?0)?0.328?5,X?1,P(X?1)?0.410? Y?f(X)??

?0,X?2,P(X?2)?0.205???2,X?3,P(X?3)?0.057则EY?5.216（万元）。

2、（12分）将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入

AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA，问输入的

是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。

解：设A1,A2,A3分别表示输入AAAA，BBBB，CCCC的事件，B表示输出为

~~ABCA的随机事件。由贝叶斯公式得：P(A1B)?~P(A1)P(BA1)~P(A)P(BAi)?ii?13

P(A1)?0.5,P(A2)?0.4,P(A3)?0.1

~P(BA1)?0.8?0.1?0.1?0.8?0.0064~P(BA2)?0.1?0.8?0.1?0.1?0.0008~P(BA3)?0.1?0.1?0.8?0.1?0.0008P(A1B)?

0.5?0.00648?

0.5?0.0064?0.0008?0.4?0.0008?0.19