2015秋高中数学1.4.3正切函数的性质与图象学案设计新人教A版必修4

第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象

学习目标

1.掌握正切函数的性质及其应用; 2.理解并掌握作正切函数图象的方法; 3.体会类比、换元、数形结合等思想方法.

学习过程

【问题激趣导学】

1.画出下列各角的正切线:

2.复习相关诱导公式

tan(x+π)= ;tan(-x)= . 【基础知识再现】

探究一 正切函数的性质

1.正切函数的定义域 . 2.正切函数的周期性

由诱导公式tan(x+π)= ,可知函数y=tan x(x≠+kπ,k∈Z)是 函数,且它的周期是 .

3.正切函数的奇偶性

因为tan(-x)= ,所以正切函数y=tan x(x≠+kπ,k∈Z)是 函数. 4.正切函数的单调性

由图(Ⅰ)(Ⅱ)(课本P43)正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-)内是 函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间 内都是增函数.

5.正切函数的值域

由图(Ⅰ)可知,当x大于-且无限接近于-时,正切线AT向y轴的负方向无限延伸;由图(Ⅱ)可知,当x小于且无限接近于时,正切线AT向y轴的正方向无限延伸.因此,y=tan x在(-)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是 .

探究二 正切函数的图象

1.利用正切线画出y=tan x,x∈(-)的图象.

2.根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数y=tan x,x∈R且x≠+kπ(k∈Z)的图象,称“正切曲线”.

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3.如何快速作出正切函数的简图?

4.根据图象讨论验证正切函数的性质.

【探究成果展示】

【例1】求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.

【例2】解不等式tan x≥.

【例3】求函数y=的定义域.

【例4】比较tan与tan的大小.

【课堂练习】

1.求函数y=tan3x的定义域、值域和单调增区间.

2.观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围: (1)tan x>0;(2)tan x=0;(3)tan x<0.

【学习小结】

达标检测

1.函数y=tan3πx的最小正周期是( ) A. B. C. D. 2.函数y=tan(-x)的定义域是( ) A.{x|x∈R且x≠-} B.{x|x∈R且x≠}

C.{x|x∈R且x≠kπ-,k∈Z} D.{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z} 3.下列不等式中正确的是( ) A.tanπ>tanπ B.tanπ

4.在下列函数中,同时满足:①在(0,)上递增;②以2π为周期;③是奇函数的是( ) A.y=tan x B.y=cos x C.y=tan D.y=-tan x

5.函数tan224°,sin136°,cos310°的大小关系是(用不等号连接) .

6.画出y=|tan x|的图象,并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间.

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