数列的通项与求和(DOC)

答案解析：由

12Sn?1?11???2， SnSn?1Sn?1∴??1??是以1为首项，公差为2的等差数列． S?n?11=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=． Sn2n?1211=? ?(2n?1)(2n?3)2n?12n?3∴

∴an=Sn－Sn－1=

?(n?1)?111∴an=?

?(n?2)??2n?12n?3变式训练：已知正数数列{an}的前n项和Sn=??an?答案解析：S1=a1=??a1?1?2?1an???，求{an}的通项公式． ?1?2?1??，所以a1=1． ?a1?1

Sn?Sn?1∵an=Sn－Sn－1 ∴2Sn=Sn－Sn－1+

∴Sn+Sn－1=∴Sn21，即Sn2－Sn－12=1

Sn?Sn?1??是以1为首项，公差为1的等差数列．

∴Sn2=n，即Sn=n

∴an=Sn－Sn－1=n－n?1（n≥2）， 又n=1时也适合上式， ∴an=n－n?1．

考点二 数列的求和

例6、求和Sn?1?2?2?3???n(n?1) 选题意图：本题考查分组求和法 解析：由an?n(n?1)?n2?n可知

Sn?(12?22???n2)?(1?2???n)

?111n(n?1)(2n?1)?n(n?1)?n(n?1)(n?2) 62322n?1变式训练：求数列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a,?的前n项和Sn.

解:若a?1,则an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n? 若a?1,则an?1?a??an?11?an1? ?(1?an)1?a1?an(n?1);2

1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a例7、求和Sn?1111 ?????1?33?55?7(2n?1)(2n?1)选题意图：本题考查裂项相消法求和 1?11?1?11?1?11?解析：Sn?????????????2?13?2?35?2?57?1?11????? 2?2n?12n?1?111111?(1??????23355711n ?(1?)?22n?12n?1变式训练：求和：1??11?) 2n?12n?1111???? 1?21?2?31?2???n211?2(?)，

n(n?1)nn?1解析：设数列的通项为an，则an?1111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1变式训练：求数列

11?21,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.

解析：设an?则 Sn?n?n?111?2??n?1?n （裂项） 12?3?????1n?n?1 （裂项求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n) ＝n?1?1

例8、求和Sn?1?2a?3a???na选题意图：本题考查错位相减法求和. 解析：当a?1时，Sn?1?2?3?当a?1时，Sn?1?2a?3a?则aSn?a?2a2?3a3?22n?1(a?0)

?n?1n(n?1)； 2?nan?1(1)，

?(n?1)an?1?nan(2)

（1）式-（2）式，得(1?a)Sn?1?a?a?a?23?an?11?an?na??nan，

1?an1?annan故Sn? ?2(1?a)1?a123n例9、求和Sn?Cn ?2Cn?3Cn???nCn选题意图：本题考查倒序相加法求和

mn-m解析：根据组合数性质Cn， ?Cnnn?1将Sn倒序写为Sn?nCn?(n?1)Cn?012两式相加，得2Sn?n(Cn?Cn?Cn?21， ?2Cn?Cnn?1n?Cn?Cn)?n?2n，

?Sn?n?2n?1 考点三 数列的应用

例10、一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{ak}（k＝1，2，3，…，n）． 试求：（1）a1，a2，a3；（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？ 选题意图：本题考查学生的分析问题，建立数学模型的能力 难度分级：B

解析：（1）由题意得a1＝n－1，a2＝（n－1）＋（n－2）－1＝2n－4，

a3＝（n－1）＋（n－2）＋（n－3）－1－2＝3n－9.

（2）在第k站出发时，放上的邮袋共：（n－1）＋（n－2）＋…＋（n－k）个，

而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个， 故ak＝（n－1）＋（n－2）＋…＋（n－k）－[1＋2＋…＋（k－1）]

11

＝kn－k（k＋1）－k（k－1）＝kn－k2（k＝1，2，…，n），

22

即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋个数为kn－k2（k＝1，2，…，n）． 例11、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5?a13?34，S3?9. （1）求数列{an}的通项公式及前n项和公式； （2）设数列{bn}的通项公式为bn?an，问：是否存在正整数t，使得b1,b2,bm(m?3,m?N)an?t成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由． 选题意图：本题考查数列的综合应用 答案解析：（1）设等差数列{an}的公差为d.

????a5＋a13＝34，?a1＋8d＝17，?a1＝1，??由已知得即解得? ?3a2＝9，??d＝2.??a1＋d＝3，?

故an＝2n－1，Sn＝n2. （2）由（1）知bn＝

2n－1

. 2n－1＋t

要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2＝b1＋bm， 2m－1314

即2×＝＋，整理得m＝3＋，

3＋t1＋t2m－1＋tt－1因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.

当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4. 故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．

111例12、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?n2?n.数列{bn}满足

22bn?2?2bn?1?bn?0(n?N)，且b5?11，b1?b2???b9?153.

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn?k3，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn?对一切

57(2an?11)(2bn?1)n?N*都成立的最大正整数k的值．

选题意图：本题考查数列的综合应用 答案解析：（1）当n＝1时，a1＝S1＝6；

1211??111?2n＋n－当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝?(n?1)?(n?1)2???＝n＋5. ?2

?22?而当n＝1时，n＋5＝6，∴an＝n＋5.

又bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，即bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn， ∴{bn}是等差数列，又b3＝11，b1＋b2＋…＋b9＝153， 解得b1＝5，d＝3.∴bn＝3n＋2. （2）cn＝

13111

＝?2n－1－2n＋1? ??(2an?11)(2bn?1)?2n?1??2n?1?2?

11??1111n

－1－?＋?－?＋…＋?∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝??＝

2??3??35??2n－12n＋1??2n＋1. n＋1n

∵Tn＋1－Tn＝－＝2n＋32n＋1

1n＋

n＋

＞0，

1

∴Tn单调递增，故（Tn）min＝T1＝.

31k

令＞，得k＜19，所以kmax＝18. 357