数列的通项与求和(DOC)

第六讲 数列的通项与求和

【考纲解读】

1. 数列是自变量为正整数的一类特殊函数，可用列表法、图象法、解析法来表示. 2. 会求简单数列的通项公式，能借助于递推公式求得数列的通项公式. 3. 掌握等差数列与等比数列的基本知识，并能综合利用它们解决相关问题.

4. 理解数列作为函数的特性，能抽象出其中的数列模型，并用数列的性质解决相关问题.

【命题规律分析】

通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，数列的概念中主要考查数列的项、项数、求通项公式、an与Sn的关系，由数列的递推关系求通项时，通常将其变形成等差数列、等比数列，或与函数的周期性等有关的问题.其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查，常与函数、不等式、解析几何等内容相结合，通过递推式求通项或前n项以及证明有关式子.由于数列与正整数有关，有时会结合数学归纳法进行证明.

【知识回顾】

一、数列通项

数列通项公式的求法：?1?观察分析法；?2?公式法：an????n?1??S1；

S?Sn?2??n?1??n?3?转化成等差、等比数列；?4?累加、累乘法 ；?5?递推法.

二、数列的求和

1.基本公式法：

?1?等差数列求和公式：Sn?n?a1?an?n?n?1??na1?d 22

q?1?na1,? ?2?等比数列求和公式：Sn??a1?1?qn?a1?anq?,q?1?1?q?1?q?3?12?22??n2?1n?n?1??2n?1?； 6

21nn?1?????； 4??4?13?23?33??n3?012 ?5?Cn?Cn?Cn?n?Cn?2n.

2.错位相消法：

给Sn?a1?a2??an各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相

减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.

一般适应于数列?anbn?的前n项求和，其中?an?成等差数列，?bn?成等比数列.

3.分组求和：

把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和.

4.拆项（裂项）求和：

把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.

常见的拆项公式有：

?1?若?an?是公差为d的等差数列，则

11?11?????； anan?1d?anan?1??2?1?11?????；

?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?1?11?11????3??；

n?n?1??n?2?2?n?n?1??n?1??n?2???4??5?11?a?ba?b11?n?k?nk??a?b； n?k?n；

???6?Cnm?1?Cnm?1?Cnm； ?7?n?n!??n?1?!?n!；

n?1?S1,. ?8?an??S?S,n≥2n?1?n5.倒序相加法：

根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.

【考点剖析】

考点一 数列的通项公式与递推公式

例1、根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式． （1）－

24816，，－，，…； 1?33?55?77?9（2）1，2，6，13，23，36，…； 选题意图：本题考查观察法求通项公式 2n解析：（1）an???1?

(2n?1)(2n?1)n1（2）an?(3n2?7n?6)

2例2、已知a1?1，an?1?an?2n?1，求an. 选题意图：本题考查累加法求通项

解析：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1 ?(2n?3)?(2n?5)???1?1 ?(n?1)2?1 ?n?2n?2.

变式训练1：已知数列?an?满足a1?解析：由条件知：an?1?an?211，an?1?an?2，求an. 2n?n1111???

n2?nn(n?1)nn?1(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)

22334n?1n所以an?a1?1?1， n?a1?例3、a1?11131，?an??1???. 22n2n2n，an?1?an，求an. 3n?1选题意图：本题考查累乘法求数列的通项 解析：由条件知

an?1n?， ann?1aa2a3a4123n?1an1???????n???????????n?2? a1a2a3an?1234na1n代入上式得

又?a1?22，?an?. 33n

变式训练2：已知数列?an?满足a1?1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?n?2?，则

?an?的通项an???n?11

n?2?___解析：由已知，得an?1?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?nan，

用此式减已知式，得当n?2时，an?1?an?nan，即an?1?(n?1)an， 又a2?a1?1，?a1?1，a2?1，a3aa?3，4?4，???，n?n?n?2?， a2a3an?1将以上n个式子相乘，得

ana?n!(n?2)， 22?1n?1,经验证n?1时不符合这个式子.?a?n???n!?2n?2.

点评：累乘问题，同时也是非常经典的需要验证首项的数列题. 例4、已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an. 选题意图：本题考查一阶递推式求数列通项

解析：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)

即an?1?2an?t?t?3.

故递推公式为an?1?3?2(an?3)，

又a1?3?4，所以?an?3?是以4为首项，2为公比的等比数列， 则an?1n?3?4?2n?1?2，所以an?1n?2?3. 变式训练3：a31?3a5,ann?1?2a,求an. n?1解析：a3an2a?1?11?2???1?a?1??1??1?1?n?1???

n?1an?13an3n?1?3?an????1?1??a?是以21n?3为首项，以3为公比的等比数列.

?a3nn?3n?2

例5、已知数列{an}中，a1=1，Sn=

Sn?12S，求{an}的通项公式．

n?1?1选题意图：本题考查由an?Sn?Sn?1求通项