安徽普高专升本统考《高等数学》试题答案解析

(4?2)21解：直接由均匀分布得D(X)??.

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三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。

x?sinx.

x?0tan2xx?sinx解：原式= lim

x?0x221．计算极限lim=lim1?cosx

x?02x=lim

sinx=0.

x?0222．求由方程yx?xy确定的隐函数的导数解：两边取对数得xlny?lnx?lny, 两边求导得lny?dy. dxx11y???y?, yxy从而

dyy(1?xlny). ?dxx(x?1)23．计算定积分

?221x2x?12dx

解：令x?sect,则dx?secttantdt,当x?2时, t???4;当x?2时, t??3.

secttant所以原式= ??dt= 2secttant43???costdt= sint|?3?=

34?41(3?2). 2

5 / 10

24．求微分方程y??2y?ex?0的通解. 解：原方程可整理为y??2y?ex

这是一阶线性微分方程,其中P(x)??2,Q(x)?ex. 所以原方程的通解为

?P(x)dx??P(x)dxdx?C? y?e?Q(x)e??????e?2dx?2dx(?exe?dx?C).

?e2x(?e?xdx?C)?e2x(?e?x?C)

??ex?Ce2x

25．计算二重积分

2x??yd?,其中D是由直线x?2、y?2x和xy?2所围成的区D域.

解：区域D如图阴影部分所示.

y 故

??xD2yd???dx?2xydy

1x22x24 2 y=2x ?1222xxy|2dy 2?1x2xy=2 O 1 2 x 12??(4x4?4)dx 21222x5?(?2x)|?10.

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?1?26．设矩阵A??1?0??1??1????2?30?，B??3?,且满足AX?B?AB?X,求矩阵X.

?2?2?3????06 / 10

解：由AX?B?A2B?X可得(A?E)X?(A2?E)B?(A?E)(A?E)B

y 00?12 y=x 因|A?E|?10?420??2?0,所以A?E可逆, ?40?22?1??1??0??????0??3????5?

?????2???2??2?1 x?1 y?2?因此X?(A?E)B??1?0?

O x

图5-7

x?1121x?1227．设行列式D(x)?12x?112333,求D(x)在x?0处的导数. 3x?1123x?123

2x?1323x?100x?11000x?2x?1123x?71x?123x?7解：D(x)??12x?13x?7123x?1x?71121x?12?(x?7)12x?1123333x?1101x?(x?7)1111

?x(x?7)(x?1)(x?2)?(x2?7x)(x2?3x?2).

故D?(x)?(2x?7)(x2?3x?2)?(x2?7x)(2x?3). 从而D?(0)?14.

x?0,?0,?a,0?x?1,??28．已知离散型随机变量X的密度函数为F(x)??1且数学期望

1?x?2,?2,??x?2.?1, E(X)?4. 37 / 10

求: (1) a的值; (2) X的分布列；(3)方差D(X )．

解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且

11?a,P(X?2)? 221134因E(X)?0?a?1?(?a)?2???a?

22231所以a?.

6P(X?0)?a,P(X?1)?(2) 由（1）即得X的分布列为 X P 0 1 2 1 612117222(3) E(X)?0??1??2??,

6323解：由题意知: 1 31 211111?a?b?1,E(X)???b?? a?,b? 66332112215E(X2)???,故D(X)?E(X2)?(EX)2???. 623399 应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。 29．设u?xy2f()，其中f(t)可微，证明:x

四、证明题与

xy?z?z?y?3u. ?x?y证明：因为

?uxx1?y2f()?xy2f?()? ?xyyy2 ?yf()?xyf?(),

xyxy?uxx?x? ?2xyf()?xy2f?()???2????yyy?y?xx?2xyf()?x2f?(),

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