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小学六年级奥数
所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?2:3，EA:CE?5:4，求AF:FB.
AFBODEC
【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能
掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．
AEFHB【分析】 连接AH、BI、CG．
由于CE:AE?3:2，所以AE?AEFIDC
GGHIDC
B222AC，故S?ABE?S?ABC?； 555根据燕尾定理，S?ACG:S?ABG?CD:BD?2:3，S?BCG:S?ABG?CE:EA?3:2，所以
49S?ACG:S?ABG:S?BCG?4:6:9，则S?ACG?，S?BCG?；
19192248那么S?AGE?S?AGC???；
5519959??S同样分析可得S?ACH?，则EG:EH，EG:EB?S?ACG:S?ACB?4:19，所以ACG:?SAC?H4:919EG:GH:H?B4:5:，同样分析可得10AG:GI:ID?10:5:4，
55215511所以S?BIE?S?BAE???，S?GHI?S?BIE???．
1010551919519【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FB?BD:DC?CE:AE?3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．
AAFIBHGDEFICBHGDEC
【解析】 连接BG，S△AGC?6份
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根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC?AF:FB?3:2?6:4，S△ABG:S△AGC?BD:DC?3:2?9:6
S6得S△BGC?4(份)，S△ABG?9(份)，则S△ABC?19(份)，因此△AGC?,
S△ABC19同理连接AI、CH得
S△ABHS6S619?6?6?61?,△BIC?,所以△GHI?? S△ABC19S△ABC19S△ABC1919三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19
【巩固】如图，?ABC中BD?2DA，CE?2EB，AF?2FC，那么?ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．
ADGFHBEIC
ADGFHBEIC
【分析】 如图，连接AI．
根据燕尾定理，S?BCI:S?ACI?BD:AD?2:1，S?BCI:S?ABI?CF:AF?1:2，
22所以，S?ACI:S?BCI:S?ABI?1:2:4，那么，S?BCI?S?ABC?S?ABC．
1?2?472同理可知?ACG和?ABH的面积也都等于?ABC面积的，所以阴影三角形的面积等于?ABC面积的
7211??3?，所以?ABC的面积是阴影三角形面积的7倍． 77
△GHI的面积DCEAFB1【巩固】如图在△ABC中，的值． ???,求
△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDCBFIGDCHAE【解析】 连接BG,设S△BGC?1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGC?AF:FB?2:1,S△ABG:S△AGC?BD:DC?2:1,得
S2S△AGC?2(份)，S△ABG?4(份),则S△ABC?7(份)，因此△AGC?,同理连接AI、CH得
S△ABC7S△ABH2S△BIC2S7?2?2?21?,?,所以△GHI?? S△ABC7S△ABC7S△ABC77
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形ABC的面积是1，BD?DE?EC，CF?FG?GA，三角形ABC被分成9部分，请写出
这9部分的面积各是多少?
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AAGGPQFBBFNDECM
【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，
CM，CN．
?1:2，S△ABP:S△ACP?BD:CD?1:2，设S△ABP?1(份)，则根据燕尾定理，S△ABP:S△CBP?AG:GC1S△ABC?1?2?2?5(份)，所以S△ABP?
5211213121同理可得，S△ABQ?,S△ABN?,而S△ABG?，所以S△APQ???，S△AQG???．
72375353721311239同理，S△BPM?，S△BDM?,所以S四边形PQMN????3521273570139511511115,S四边形NFCE???S四边形MNED?????,S四边形GFNQ????
3357042321426321642
【巩固】如图，?ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形
JKIH的面积是多少？
DECCFGKAIHB
CDEAGKIHB
JFJDE【解析】 连接CK、CI、CJ．
根据燕尾定理，S?ACK:S?ABK?CD:BD?1:2，S?ABK:S?CBK?AG:CG?1:2，
1111所以S?ACK:S?ABK:S?CBK?1:2:4，那么S?ACK??，S?AGK?S?ACK?．
1?2?473212类似分析可得S?AGI?．
151又S?ABJ:S?CBJ?AF:CF?2:1，S?ABJ:S?ACJ?BD:CD?2:1，可得S?ACJ?．
41117那么，SCGKJ???．
4218417根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为
84172161619，所以四边形JKIH的面积为1?SCGKJ?2?S?AGI?S?ABE??2????．
84153707070
【例 29】 右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与
BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？
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AGMFCBDEAGNMB【解析】 连接CM、CN．
NDEFC
1根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AG:GC?1:1，S△ABM:S△ACM?BD:CD?1:3，所以S△ABM?S△ABC；
5再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBN?AG:GC?1:1，所以S△ABN:S△FBN?S△CBN:S△FBN?4:3，所以AN:NF?4:3，那么
S△ANG151542?2?S△ABC． ???，所以SFCGN??1??S△AFC??S△ABC?7428S△AFC24?37?7?15根据题意，有S△ABC?S△ABC?7.2，可得S△ABC?336(平方厘米)
528
【例 30】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面
积.
ADEIHEQDPAIMHNBFGCBFGC
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP
⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△CBM?AI:CI?1:2S△ACM:S△CBM?AD:BD?1:2
设S△ABM?1(份)，则S△CBM?2(份),S△ACM?1(份),S△ABC?4(份),
1111所以S△ABM?S△ACM?S△ABC，所以S△ADM?S△ABM?S△ABC,S△AIM?S△ABC,
431212111所以S四边形ADMI?(?)S△ABC?S△ABC,
121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的
6⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理
S△ABN:S△ACN?BF:CF?1:2S△ACN:S△BCN?AD:BD?1:2,
11111所以S△ADN?S△ABN??S△ABC?S△ABC,同理S△BEQ?S△ABC
3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACP?BF:CF?1:2,S△ABP:S△CBP?AI:CI?1:2 1?111?11S△ABC 所以S△ABP?S△ABC，所以S五边形DNPQE?S△ABP?S△ADN?S△BEP?????S△ABC?1055?52121?1111113同理另外两个五边形面积是△ABC面积的，所以S阴影?1??3? ?3?105610570
【例 31】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形
面积.
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