六年级奥数-第四讲[1].几何-平面部分 教师版 2

小学六年级奥数

11S?S?OED； ON:ND?S:S?S:S?1:1根据蝴蝶定理，，所以?OEN?COE?CDE?CAE?CDE2211S?S?OEA． OM:MA?S?BOE:S?BAE?S?BDE:S?BAE?1:4，所以?OEM5211S??S矩形ABCD?3，S?OEA?2S?OED?6，所以阴影部分面积为：3?1?6?1?2.7． 又?OED3425

【例 4】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，

求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)

A甲乙IJMBNH丙EDF

【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平

行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有S?ABCC?S丙?S?ABN?S?AMC?SAMHN，

?SAMHN．

1?400?43． 4即400?S丙? 200?200?SAMHN，所以S丙又S阴影?S?ADF?S甲?S乙?SAMHN，所以S阴影?S甲?S乙?S丙?S?ADF?143?

【例 5】 如图，已知CD?5，DE?7，EF?15，FG?6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，

右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．

AACDBEFGCDBEFG【解析】 连接AF，BD．

根据题意可知，CF?5?7?15?27；DG?7?15?6?28；

所以，S?BEF

15S?CBF，S?BEC?12S?CBF，S?AEG?21S?ADG，S?AED?7S?ADG， 272827287122115S?S?CBF?38； S?S?65于是：；?ADG?ADG?CBF28272827可得S?ADG?40．故三角形ADG的面积是40．

?

【例 6】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方厘

米，求△ABC的面积．

第 5 页 共 25 页 小学六年级奥数

AADEDEBCB【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE

?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)，

C

S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5)，设S△ADE?8份，则

S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三

角形ABC的面积是多少？

AADECDECB【解析】 连接BE．

∵EC?3AE ∴SABC?3SABE 又∵AB?5AD

∴SADE?SABE?5?SABC?15，∴SABC?15SADE?15．

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面积

是甲部分面积的几倍？

AAEB甲DE B

乙C【解析】 连接AD．

∵BE?3，AE?6

∴AB?3BE，SABD?3SBDE 又∵BD?DC?4，

∴SABC?2SABD，∴SABC?6SBDE，S乙?5S甲．

【例 7】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，

AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．

DD

B甲D乙C

AAEBCE

BC

第 6 页 共 25 页 小学六年级奥数

【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)

S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?，

所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，设S△ADE?6份，则S△ABC?25份，S△ADE?12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要

的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的面

积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

HHAGDFBCEAGDFBCE【解析】 连接AC、BD．根据共角定理

∵在△ABC和△BFE中，?ABC与?FBE互补，

SAB?BC1?11??． ∴△ABC?S△FBEBE?BF1?33又S△ABC?1，所以S△FBE?3．

同理可得S△GCF?8，S△DHG?15，S△AEH?8．

所以SEFGH?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36．

S21?． 所以ABCD?SEFGH3618

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？

C1312O131213D131212AB【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为12?12?144.(也可以用勾股定理)

【例 10】 如图所示，?ABC中，?ABC?90?，AB?3，BC?5，以AC为一边向?ABC外作正方形ACDE，

中心为O，求?OBC的面积．

第 7 页 共 25 页 小学六年级奥数

EEOA3B5CDOA3D【解析】 如图，将?OAB沿着O点顺时针旋转90?，到达?OCF的位置．

由于?ABC?90?，?AOC?90?，所以?OAB??OCB?180?．而?OCF??OAB， 所以?OCF??OCB?180?，那么B、C、F三点在一条直线上．

由于OB?OF，?BOF??AOC?90?，所以?BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5?3?8，所以它

1的面积为82??16．

45根据面积比例模型，?OBC的面积为16??10．

8

【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，?AEB?90?，AC、BD交于O．已

知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．

CBCB

B5CF

OEDADOEAF

【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将?ADE顺时针旋转90?到?ABF的位置．

那么?EAF??EAB??BAF??EAB??DAE?90?，而?AEB也是90?，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF?AE?3，

所以梯形AFBE的面积为：

1?3?5??3??12(cm2)．

2又因为?ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2?AE2?BE2?32?52?34，所以

S?ABD?1AB2?17(cm2)． 2那么S?BDE?S?ABD??S?ABE?S?ADE??S?ABD?SAFBE?17?12?5(cm2)，

1S?S?BDE?2.5(cm2)． 所以?OBE2

【例 12】 如下图，六边形ABCDEF中，AB?ED，AF?CD，BC?EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，

BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD?24厘米，BD?18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

第 8 页 共 25 页