2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）

再由，可得0﹣（﹣）=2（﹣0），

化为a2=3b2=3（c2﹣a2）， 即为3c2=4a2， 则e==故答案为：

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）已知点

，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数

．

．

．

（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；

（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值． 【解答】解：（1）∵∴∴当

（2）∵f（A）=4，∴又∵BC=3，∴∴9=（b+c）2﹣bc．∴∴

，

，当且仅当b=c取等号，

．

，

，

时，f（x）取得最小值2．

，

，

，

∴三角形周长最大值为

18．（12分）某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下： 女性用户

分值区间 频数

20

40

80

50

10

[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）

男性用户

分值区间 频数

[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100）

45 75 90 60 30

（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；

（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．

【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：

由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．

（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人， 其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人， 记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，

，

，

．

所以X的分布列为 X P

或

19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点． （1）求证：PD⊥平面ABE； （2）若F为AB中点，﹣B的余弦值为

．

，试确定λ的值，使二面角P﹣FM

1

2

3

．

【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB， 又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以A﹣BDP，令|AB|=2，

为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系

则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），2λ，2﹣2λ）

设平面PFM的法向量

，，，M（2λ，

，，即，

设平面BFM的法向量即

，，

，，解得

．

20．（12分）已知点P是长轴长为

的椭圆Q：

上异于顶

点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆Q的方程；

（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是小值．

，求|CD|的最

．