(五年高考真题)2016届高考数学复习 第九章 第四节 双曲线 理(全国通用)

9．(2013·四川，6)抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是( )

31A. 2

B.3 2

C．1

D.3

22

y2

解析 由题意可得，抛物线的焦点为(1，0)， 双曲线的渐近线方程为y＝±3x，即±3x－y＝0，

|±3－0|3

由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d＝＝.

22答案 B

πxyy10．(2013·湖北，5)已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C：－2222

4cosθsinθsinθ

2

2

2

x2

sinθtanθ

2

2

＝1的( )

A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等

D．离心率相等

解析 对于双曲线C1：

x2

cosθ

2

－

y2

sinθ

2

＝1，a1＝cosθ，b1＝sinθ，c1＝1；

2

2

2

2

2

22222

对于双曲线C2：2－2＝1，a2＝sinθ，b2＝sinθtanθ， 2sinθsinθtanθsinθsinθ

c＝sinθ＋sinθtanθ＝sinθ(1＋tanθ)＝sinθ(1＋2)＝2 cosθcosθ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y2x2

＝tanθ.

π

∵只有当θ＝kπ＋(k∈Z)时，

4

22222

a21＝a2或b1＝b2或c1＝c2，

2

π

而0<θ<，∴排除A，B，C.

4

1tanθ12

设双曲线C1，C2的离心率分别为e1，e2，则e＝2，e2＝＝. 22

cosθsinθcosθ

21

2

故e1＝e2，即两双曲线的离心率相等． 答案 D

11．(2015·浙江，9)双曲线－y＝1的焦距是______，渐近线方程是______．

2解析 由双曲线方程得a＝2，b＝1，∴c＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y＝±

2

2

2

x2

2

22

x.

答案 23 y＝±2x 2

x22

12．(2015·北京，10)已知双曲线2－y＝1(a＞0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝

a________．

解析 双曲线渐近线方程为y＝±x， ∴＝3，又b＝1，∴a＝答案

3 3

baba3. 3

x2y2

13．(2015·湖南，13)设F是双曲线C：2－2＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PFab的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．

x2y2c2

解析 不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入2－2＝1得2＝5，∴e＝5.

aba答案

5

2

2

14．(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________． 解析 双曲线x－y＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝

|1－0|1＋1

22

2

＝22

.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得2

c≤

22，故c的最大值为. 22

2

2

答案

x2y2

15．(2014·浙江，16)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐

ab近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________． 解析 联立直线方程与双曲线渐近线方程y＝±x可解得交点为?

ba?am，bm?，

??3b－a3b－a?

?－am，bm?，而k＝1，由|PA|＝|PB|，可得AB的中点与点P连线的斜率为－3，即?3b＋a3b＋a?AB3??

bmbm＋

3b－a3b＋a2

－0

＝－3， －m5. 2

am－am＋3b－a3b＋a2

2

化简得4b＝a，所以e＝

2

答案

5 2

x2y2

16．(2012·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－2＝1的离心率为5，则

mm＋4m的值为________．

x2y2

解析 由双曲线标准方程－2＝1知

mm＋4a2＝m>0，b2＝m2＋4，

∴c＝a＋b＝m＋m＋4，

2

2

2

2

c2

由e＝5，得2＝5，

am＋m2＋4

∴m>0且＝5，

m∴m＝2. 答案 2

x22

17．(2014·江西，20)如图，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦

a点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)． (1)求双曲线C的方程；

(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：3

＝相交于点N. 2

|MF|

证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．

|NF|(1)解 设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a＋1， 1

直线OB的方程为y＝－x，

2

x0x－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线xa2

a1

直线BF的方程为y＝(x－c)，

a??解得B?，－?.

2a??2

1

又直线OA的方程为y＝x，则

ccac?c?－?－?ac?2a?3??A?c，?，kAB＝＝.

ca?a?

c－

2

3?1?x222

又因为AB⊥OB，所以·?－?＝－1，解得a＝3，故双曲线C的方程为－y＝1.

a?a?3(2)证明 由(1)知a＝3，则直线l的方程为x0x3

－y0y＝1(y0≠0)，即y＝

x0x－3

. 3y0

?2x0－3?；

因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M?2，

3y0????3x0－3?3?. 直线l与直线x＝的交点为N?32

?，?2

3y0??2

|MF|

则2＝|NF|

2

（2x0－3）

2

（3y0）

2

?3x0－3???1?2?

2

2

＋24（3y0）

（2x0－3）＝2 9y092

＋（x0－2）444（2x0－3）＝·22， 33y0＋3（x0－2）

因为P(x0，y0)是C上一点，则－y0＝1，代入上式得

3|MF|4（2x0－3）

2＝·22 |NF|3x0－3＋3（x0－2）4（2x0－3）4＝·2＝， 34x0－12x0＋93|MF|223

所求定值为＝＝. |NF|33

2

2

2

2

x20

2

x2y2

18．(2013·大纲全国，21)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，

abF2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6.

(1)求a，b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

ca2＋b2

(1)解 由题设知＝3，即2＝9，

aa故b＝8a.

所以C的方程为8x－y＝8a. 将y＝2代入上式， 求得x＝±

2

2

2

2

2

a2＋. 12