（五年高考真题）2016届高考数学复习 第九章 第四节 双曲线 理（全国通用）

第四节 双曲线

考点一 双曲线的定义及标准方程

1．(2015·福建，3)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E916上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( ) A．11

B．9

C．5

D．3

x2y2

解析 由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B. 答案 B

2．(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( ) A．x－＝1

4C.－x＝1 4

2

y2

2

B.－y＝1 4D．y－＝1

4

2

x2

2

y2x2

解析 由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在

y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.

答案 C

12

x2y25

3．(2015·广东，7)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则

ab4

双曲线C的方程为( ) A.－＝1

43C.－＝1 916

x2y2x2

B.x2

16

－＝1 9

y2

y2

D.－＝1 34

x2y2

c52

解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，ba4

＝c－a＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选B.

169答案 B

2

2

x2y2

x2y2

4．(2014·天津，5)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋

ab10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 520

x2y2

B.x2

20

－＝1 5

y2

3x3yC.－＝1 25100

22

3x3yD.－＝1 10025

22

解析 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(－5，0)，所以a＋b＝c＝25，解得a＝5，b＝20，故双曲线方程为－

520＝1.选A. 答案 A

3

5．(2013·广东，7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C2的方程是( ) A.－＝1 45C.－＝1 25

2

2

2

2

2

babax2y2

x2y2

B.－＝1 45D.－＝1 25

x2y2x2

x2y2y2

解析 由曲线C的右焦点为F(3，0)，知c＝3. 3c3

由离心率e＝，知＝，则a＝2，

2a2故b＝c－a＝9－4＝5， 所以双曲线C的方程为－＝1.

45答案 B

考点二 双曲线的几何性质

1．(2015·四川，5)过双曲线x－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条

3渐近线于A，B两点，则|AB|＝( ) A.43

3

B．23

C．6

D．43

2

2

2

2

2

x2y2

y2

解析 焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x－＝0，将x＝2

3代入渐近线方程得y＝12，y＝±23，∴|AB|＝23－(－23)＝43.选D. 答案 D

2．(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( ) A.5

B．2

C.3

D.2

2

y2

x2y2

解析 如图，设双曲线E的方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|

ab＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点

x2y2cM(x1，y1)的坐标代入2－2＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝aba答案 D

a2＋b2＝2，选D. a2

3．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C2→→

的两个焦点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是( ) 33??

，? 3??3

?2222?C.?－，?

3??3A.?－

33??

，? 6??6

?2323?D.?－，?

3??3B.?－

2

x2

2

x2?2

?－y＝1，x222

解析 由题意知M在双曲线C：－y＝1上，又在x＋y＝3内部，由?2得y222??x＋y＝3，

＝±

333

，所以－

答案 A

4．(2014·广东，4)若实数k满足0

A．离心率相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等

D．焦距相等

x2

25

－

y2

9－k＝1与曲线

－＝1的

25－k9

x2y2

解析 由0

5．(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F为双曲线C：x－my＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3

B．3

C.3m

D．3m

2

2

x2y2

解析 ∵双曲线的方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为3.

3m3

答案 A

x2y2

6．(2014·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上

ab9

存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )

44A. 3

5B. 3

9C. 4

D．3

解析 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)－(|PF1|－|PF2|)＝9b－4a，即4|PF1|·|PF2|＝9b－4a，又4|PF1|·|PF2|＝9bb4?b??3b??3b?9ab，因此9b－4a＝9ab，即9??－－4＝0，则?＋1??－4?＝0，解得＝aa3?a??a??a?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?b＝－1舍去?，则双曲线的离心率e＝

?a?3??

答案 B

?b?5

1＋??＝. ?a?3

2

x2y2x2y2

7．(2014·山东，10)已知a>b>0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝abab1，C1与C2的离心率之积为A．x±2y＝0 C．x±2y＝0

3

，则C2的渐近线方程为( ) 2

B.2x±y＝0 D．2x±y＝0

a2－b2a2＋b2a2－b2a2＋b2

解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·aaaa3344444

，所以a－b＝a，即a＝4b，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝241

±x，即x±2y＝0.

2＝答案 A

8．(2014·大纲全国，9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( ) 1A. 4

1B. 3

C.2 4

D.2 3

解析 由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＝2|AF2|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a.∵e＝＝2，∴c＝2a，∴|F1F2|＝4a. |AF2|＋|F1F2|－|AF1|

∴cos∠AF2F1＝

2|AF2|·|F1F2|（2a）＋（4a）－（4a）1＝＝，故选A.

2×2a×4a4答案 A

2

2

2

2

2

2

ca