二项式定理的应用

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二项式定理的应用

作者：杨建萍

来源：《数理化学习·高三版》2012年第12期

二项式定理的问题相对独立，题型繁多，解法灵活，本文在此作较详细的总结和分析，希望对同学们有所帮助

一、求二项式展开式的指定项或系数（或二项式系数） 例1求（x-3）10的展开式中的常数项

分析：先写出展开式的通项，然后令x的幂指数为0，再求出解 解析： （x-3）10

的展开式的通项为Tr+1=Cr10·

点评：（1）可利用二项式定理的通项求解指定项或系数问题；

（2）要注意区分某项的二项式系数与该项的系数的差异 前者仅指组合数 ，后者指 二、利用二项式定理证明整除或余数问题 例2（1）今天是星期一，问1090天后是星期几？ （2）证明32n+3-24n+37能被64整除

分析：利用二项式定理解决有关求余数或多项式的整除问题，关键是将多项式通过恒等变形为二项式形式使其展开后的各项均含有除式 解析：（1） 转化为除以7的余数问题

（2）需将32n+3-24n+37变形后使各项都含有因数64 所以原式能被64整除

点评：用二项式定理解决整除问题时用化整为零的思想：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项都能被另一个式子整除即一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”、“消除法”，配合整除的有关知识来解决