特岗教师数学考试试题（高数）

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????1?1?2?????1?2?1?3??????1?n?1?n?1??

?1?1n?1

=

lim?1?1?n?n（2）原式nlim??n?1n????n?1???e?e?1

20．设

f?x??ax?a?0,a?1?, 求lim1n??n2ln??f?1??f?2??f?n??? 解： 原式=

lim112nn??n2ln?a?a?a? ?lim1n??n2?lna?2lna???nlna?

?lna?1?2???nnlim??n2

?lna?lim(n?1)nn??n2?2

?12lna?a?0,a?1? 四、综合题（每小题10分，共20分）

21．设

f?x?=x，求1?x2f3?x?=

f?f??f?x????并讨论

f3?x?的奇偶性与有界性。

解：（1）求

f3?x?

?f?x??x1?x2?f2?x??f?x?1?f2?x??x1?2x2f3?x??f??f2?x????f2?x??x1?f22?x?1?3x2（2）讨论

f3?x?的奇偶性

?f3??x???x1?3x2??f3?x?

?f3?x?为奇函数

（3）讨论

f3?x?的有界性

5

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?f3?x??x1?3x2?x3x?1 ?f3?x?有界 3（如?的扇形做成一个漏斗

23．设

f?x?为定义在???,???的任意函数，证明f?x?可表示为一个偶函数与一

个奇函数之和。

22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为图），试将漏斗的容积V表示成中心角

?的函数。

解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=13?r2h?h?R2?r2,2?r?R?

R2???r2?4?2h?R2?R2??4?2

?R2??故V?4?2???34?2?R2?

??R3??2?24?34??? （2）函数的定义域

?4?2??2?0,?2??2??2 ??0??????

?R3故V??24?24?2????0?????? 五、证明题（每小题9分，共18分）

证：(1)

f?x??f?x??f??x??x??f??x?2?f2

(2)令g?x??f?x??f??x?2????x????

?g??x??f??x??f?x?2?g?x?

?g?x?为偶函数

(3)令??x??f?x??f??x?2????x????

????x??f??x??f?x?2????x?

???x?为奇函数

（4）综上所述：

f?x??g?x?偶函数+??x?奇函数

6

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24 设

f?x?满足函数方程2f?x?+f??1??x??

=

1x，证明f?x?为奇函数。 证：（1）?2f?x??f??1??x???1x???1?

令1x?t,2f??1??t???f?t??t ?函数与自变量的记号无关 ?2f??1??x???f?x??x???2?

（2）消去

f??1??，求出f?x?x?? ?2??2??1?:f?x??4f?x??x?2x3f?x??x2?22?x2?x,f?x??3x

（3）?f?x?的定义域???,0???0,???

又?f??x??2?x2?3x??f?x?

?f?x?为奇函数

＊选做题 1

已

知

12?2???2n?n(n?2n1?)6，

(2求

12lim?n???1222n??n3?1?n?23???n?n? ?3解: ?12?22???n2n3?n

12n212?22???n2?n3?1???n3?n?n3?1

且lim12?22???n2n??n3?n

?limn?n?1?(2n?1)n??6?n3?n??13 lim12?22???n2n??n3?1?limn(n?1)(2n?1)1n??6(n3?1)?3 ∴由夹逼定理知，原式?13 7

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印 2 若对于任意的x,y，函数满足：f?x?y??f?x??f?y?，证明f?y?为

2． 下列极限正确的是（ ） 奇函数。 解 (1)求

f?0?：令

x?0,y?0,f?0??2f?0??f?0??0

(2)令x??y:f?0??f??y??f?y??f??y???f?y?

?f?y?为奇函数

第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案 一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A．

sinxxxlim??x?1 B． lim?sinx不存在 x??x?sinxC．

lim1?x??xsinx?1 D． limx??arctanx?2 1解：?lim1x?tsinx??xsinxlimtt?0t ?选C 1?sinx注：Alimsinxxx??x?0;Blim?1?0x???1

1?sinx1?0x

11A．

x． xlim?0?e?0 Blimxx?0?e?0

C．

lim(1x?0?cosx)secx?e

1D．

lxx??im(1?x)?e

1解：?limx1x??e?e???e? A 0?0?选注：B:??,C:2,D:1

3． 若

xlim?xf?x???，lim0x?xg?x???，则下列正确的是 0A．

xl?ixm?f?x??g?x??0????

B．

xlim?x??x??g?x??0?f???

C．

lx?im1x0f?x??g?x??0

D．

xlim?xkf?x????k?0?

0解：?limk?0x?xkf?x??klimx?xf?x??k??? ?选D

008

） （