概率习题答案5

(2)P{Xˉ>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}

≈1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122.

习题2

设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,?,X6是它的一组样本，设 Xˉ=16∑i=16Xi.

(1)写出Xˉ所服从的分布；(2)求Xˉ>11的概率.

解答：

(1)Xˉ～N(10,326), 即Xˉ～N(10,32). (2)P{Xˉ>11}=1-P{Xˉ≤11}=1-Φ(11-1032)

≈1-Φ(0,8165)≈1-Φ(0.82)=0.2061.

习题3

设X1,X2,?,Xn是总体X的样本，Xˉ=1n∑i=1nXi, 分别按总体服从下列指定分布求

E(Xˉ),D(Xˉ).

(1)X服从0-1分布b(1,p); (2)*X服从二项分布b(m,p); (3)X服从泊松分布P(λ); (4)X服从均匀分布U[a,b]; (5)X服从指数分布e(λ).

解答：

(1)由题意，X的分布律为：

P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1).

E(X)=p,D(X)=p(1-p).

所以

E(Xˉ)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n?np=p,

D(Xˉ)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2?np(1-p)=1np(1-p).

(2)由题意，X的分布律为：

P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,?,m).

同(1)可得

E(Xˉ)=mp,D(Xˉ)=1nmp(1-p).

(3)由题意，X的分布律为：

P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0,k=0,1,2,?).

E(X)=λ,D(X)=λ.

同(1)可得

E(Xˉ)=λ,D(Xˉ)=1nλ.

(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212, 同(1)可得

E(Xˉ)=a+b2,D(Xˉ)=(b-a)212n.

(5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2, 同(1)可得

D(Xˉ)=1λ,D(Xˉ)=1nλ2.

习题4

某厂生产的搅拌机平均寿命为5年，标准差为1年，假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布，求：

（1）容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率； （2）容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。 解答：

（1）由题意知Xˉ～N(5,1n),n=9，则标准化变量 Z=Xˉ-51/9=Xˉ-51/3～N(0,1).

而 P{4.4

（2）P{Xˉ<6}=P{Xˉ-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ(3)=0.9987.

习题5

设X1,X2,?,X16及Y1,Y2,?,Y25分别是两个独立总体N(0,16)和N(1,9)的样本，以Xˉ和Yˉ分别表示两个样本均值，求P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}. 解答：

Xˉ～N(0,1616)，Yˉ～N(1,925)，Xˉ-Yˉ～N(-1,1+925)，即

Xˉ-Yˉ～N(-1,3425)． 标准化变量Xˉ-Yˉ，令Z=Xˉ-Yˉ34/5～N(0,1)，所以

P{∣Xˉ-Yˉ∣>1}=1-P{∣Xˉ-Yˉ∣≤1}=1-P{-1≤Xˉ-Yˉ≤1} =1-P{0≤Xˉ-Yˉ+134/5≤234/5 ≈1-Φ(1.715)+Φ(0)

=1-0.9569+0.5=0.5431．

习题6

假设总体X服从正态分布N(20,32), 样本X1,?,X25来自总体X, 计算

P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.

解答：

令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi, 由于X1,?,X25相互独立同正态分布N(20,32), 因此有

Y1与Y2相互独立，且Y1～N(320,122), Y2～N(180,92),

Y1-Y2～N(140,152),

P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},

=P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ(2.8)=0.997.

习题7

从一正态总体中抽取容量为n=16的样本，假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01, 试求总体的标准差. 解答：

设总体X～N(μ,σ2), 样本均值为Xˉ,则有

Xˉ-μσ/n=Xˉ-μσ/4～N(0,1).

因为

P{∣Xˉ-μ∣>2}=P{∣Xˉ-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01,

所以Φ(8σ)=0.995.

查标准正态分布表，得8σ=2.575, 从而σ=82.575=3.11.

习题8

设在总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本，这里μ,σ2均为未知.

(1)求P{S2/σ2≤2.041}, 其中S2为样本方差； (2)求D(S2).

解答：

(1)因为是正态总体，根据正态总体下的统计量分布可知

(n-1)S2σ2～χ2(n-1).

这里n=16, 于是

P{S2/σ2≤2.041}=P(15S2σ2≤15×2.041)

=1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得) =1-0.01=0.99.

(2)因为(n-1)S2σ2～χ2(n-1), 又知

D((n-1)S2σ2)=2(n-1),

所以

D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2?2(n-1)=2n-1σ4=215σ4

(因为n=16).

习题9

设总体X～N(μ,16),X1,X2,?,X10为取自该总体的样本，已知P{S2>a}=0.1, 求常数a. 解答：

因为(n-1)S2σ2～χ2(n-1),n=10,σ=4, 所以

P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.

查自由度为9的χ2分布表得，916a=14.684, 所以a≈26.105. 习题10

设X1,X2,?,Xn和Y1,Y2,?,Yn分别取自正态总体

X～N(μ1,σ2)和Y～N(μ2,σ2)

且相互独立，问以下统计量服从什么分布？

(1)(n-1)(S12+S22)σ2; (2)n[(Xˉ-Yˉ)-(μ2-σ2)]2S12+S22.

解答：

(1)由(n-1)S12σ2～χ2(n-1), (n-1)S22σ2～χ2(n-1), 由χ2(n)的可加性

(n-1)(S12+S22)σ2～χ(2(n-1)).

(2)Xˉ-Yˉ～N(μ1-μ2,2σ2n), 标准化后(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)σ2n～N(0,1), 故有

[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]22σ2n～χ2(1),

又由(n-1)(S12+S22)σ2～χ2(2n-2), 注意F分布定义

[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]21n2σ2/1(n-1)(S12+S22)σ2/2(n-1)=n[(Xˉ-Yˉ)-(μ1-μ2)]2S1

习题11

分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率. 解答：

用S12和S22分别表示两个样本方差，由定理知

F=S12/σ12S22/σ22=S12/20S22/35=1.75S12S22～F(8-1,10-1)=F(7,9).

又设事件A={S12≥2S22}, 下面求P{S12≥2S22}, 因

P{S12≥2S22}=P{S12S22≥2=P{S12/20S22/35≥2×3520=P{F≥3.5}.

查F分布表得到自由度为n1=7,n2=9的F分布上α分布点Fα(n1=7,n2=9)有如下数值：

F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,

因而F0.05(7,9)=3.29<3.5

0.025≤P{S12≥2S22}≤0.05.

总习题解答

习题1

设总体X服从泊松分布.一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8, 计算样本均值，样本方差和经验分布函数. 解答：