人教B版高中数学选修(2-1)-2.4疑难解析：抛物线

抛物线疑难解析

抛物线在生活中随处可见，如向上扔一块石头到石头落地的轨迹就是抛物线。由于抛物线有一个焦点，一个顶点，一条准线，没有中心，表面上相对其他两种圆锥曲线容易些，但在实际应用中有些知识点容易出现认知错误。下面具体剖析。

1、在抛物线的定义中，到定点与到定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线吗？

这种说法是不对的。注意还应该满足定点一定不在定直线上，否则动点的轨迹就不是抛物线。而是直线方程。

如动点P与定点F（1，1）与直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，但动点P的轨迹就是直线，可以按下面过程求解：设动点P（x，y），则

(x?1)2?(y?1)2?|3x?y?4|10，

整理得：x2?9y2?4x?12y?6xy?4?0，即(x?3y?2)2?0， 所以x－3y＋2＝0，所以动点P轨迹为直线。

1112、抛物线y??x2焦点坐标为(?,0)，准线方程为x?是否正确哪？

83232上面说法没有把握抛物线标准方程特点，应该首先把方程化为标准方程再求解。

首先把方程化为标准形式，再根据P的几何意义，确定焦点与准线方程，由于抛物线标准方程为x2??8y，则2p＝8，焦点坐标为（0，－2），准线方程为y＝2，

可以利用口诀帮助记忆：对称轴要看一次项，符号定开口方向。, 3、如果直线与抛物线只有一个交点，则一定有直线与抛物线相切。这种说法说是否正确？

直线与抛物线交点情况，常常想到直线与椭圆的判断方法，由于思维定势，马上想到联立方程，直接利用▲＝0得出结果。实际上直线与抛物线有一个交点情况复杂，需考虑直线斜率不存在与存在的情况。若直线斜率存在，还需讨论二次项系数是否为零情况。

p?2，又焦点在y轴负半轴上，其2如过定点P（0，1）且与抛物线y2?2x只有一个公共点的直线方程。由直线斜率不存在，即直线x＝0满足与抛物线只有一个公共点，若斜率存在，设为k，则过点P的直线方程为y＝kx＋1，联立方程得k2x2?2(k?1)x?1?0，

当k＝0时，x?

1

，y＝1，故y＝1与抛物线只有一个公共点。此时说明直线2

11，即y?x?1与抛物线只22与抛物线的对称轴平行。

当k?0时，由??4(k?1)2?4k2?0，所以k?有一个公共点。

可见直线与抛物线只有一个交点，除直线与抛物线相切外，还包含与对称轴平行（或重合）的情况。