2016新课标三维人教B版数学选修4-5 1.4 绝对值的三角不等式

|f?x?|14

对于④，由＝2≤，x≠0，只要取

|x|x＋x＋134

m＝即可；

3

对于⑤，令x2＝0，x1＝x ，由f(0)＝0，知|f(x)|≤2|x|. 答案：①④⑤ 三、解答题

115

9．已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.

3618

1

证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|＜，|2x－y|

31＜， 6

2155

从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.

36618

|a＋b||a||b|

10．设a，b∈R，求证：＋≥. 1＋|a|1＋|b|1＋|a＋b|

证明：法一：①若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．②若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，

∴

|a|＋|b|1

＝ 11＋|a|＋|b|

1＋

|a|＋|b||a＋b|＝(*) 11＋|a＋b|＋1|a＋b|

1

|a||a||b||b|

＞，＞， 1＋|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|1＋|a|＋|b||a|＋|b||a||b|

＋＞. 1＋|a|1＋|b|1＋|a|＋|b|

|a＋b||a||b|

＋＞. 1＋|a|1＋|b|1＋|a|＋|b|

≥

又∴

又由(*)式可知

|a＋b||a||b|

综上①②可知＋≥. 1＋|a|1＋|b|1＋|a＋b|法二：若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立． 若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|， 11

∴0＜1＋≤1＋. |a|＋|b||a＋b|1＋|a|＋|b|1＋|a＋b|

即0＜≤. |a|＋|b||a＋b|

版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn

|a|＋|b||a＋b|

取倒数得≥，

1＋|a|＋|b|1＋|a＋b|又由法一知，原不等式成立． 法三：∵|a|＋|b|≥|a＋b|，

∴|a|＋|b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|≥|a＋b|＋ (|a|＋|b|)·|a＋b|，

即(|a|＋|b|)(1＋|a＋b|)≥|a＋b|(1＋|a|＋|b|)． 两边同除以(1＋|a＋b|)(1＋|a|＋|b|)得

|a|＋|b||a＋b|

≥.又由法一知，原不等式成立．

1＋|a|＋|b|1＋|a＋b|x

法四：构造函数f(x)＝，

1＋x任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，有 x1x2f(x1)－f(x2)＝－ 1＋x11＋x2＝

x1－x2

＜0.

?1＋x1??1＋x2?

∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．

又|a|＋|b|≥|a＋b|，∴f(|a|＋|b|)≥f(|a＋b|)， 即

|a|＋|b||a＋b|

≥.

1＋|a|＋|b|1＋|a＋b|

又由法一知，所证不等式成立． 11．已知|x1－2|<1，|x2－2|<1. (1)求证：2

2

∴|f(x1)－f(x2)|＝|x21－x1－x2＋x2|

＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|＝|x1－x2||x1＋x2－1|. 由(1)知20，

版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn

∴|x1－x2|<|x1－x2||x1＋x2－1|<5|x1－x2|， 即|x1－x2|<|f(x1)－f(x2)|<5|x1－x2|.

版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn