2016新课标三维人教B版数学选修4-5 1.4 绝对值的三角不等式

含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．

2．(1)已知ε>0，|x－a|<ε，|y－b|<ε， 求证：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε.

(2)设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 证明：(1)|(x＋y)－(a＋b)|＝|(x－a)＋(y－b)|≤|x－a|＋|y－b|.① ∵|x－a|<ε，|y－b|<ε， ∴|x－a|＋|y－b|<ε＋ε＝2ε.② 由①②得：|(x＋y)－(a＋b)|<2ε. (2)∵f(x)＝x2－x＋13， ∴|f(x)－f(a)|＝|x2－x－a2＋a| ＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|. 又∵|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1| ≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a|＋1 ＝2(|a|＋1)，

∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).

[例3] 已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4. 求|a|＋|b|的最大值．

[思路点拨] 本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出|a＋b|，|a－b|的最值，再通过|a|＋|b|与它们相等时进行讨论求出最大值．

[精解详析] |a＋b|＝|(a＋b＋1)－1| ≤|a＋b＋1|＋|－1|≤2，

|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5| ≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5 ≤3＋2×4＋5＝16.

①若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2； ②若ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16.

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利用绝对值的三角不等式求最值

??a＋b＋1＝1，而当?即a＝8，b＝－8时，

?a＋2b＋4＝－4，?

|a|＋|b|取得最大值，且|a|＋|b|＝|a－b|＝16.

(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已．

(2)求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有： ①借助绝对值的定义，即零点分段； ②利用绝对值几何意义； ③利用绝对值不等式性质定理．

3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( ) A．5 C．8

B．4 D．7

解析：由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5， 即|x－2y＋1|的最大值为5. 答案：A

[对应学生用书P15]

一、选择题

1．已知实数a，b满足ab<0，则下列不等式成立的是( ) A．|a＋b|>|a－b|

B．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<|a|＋|b|

C．|a－b|<||a|－|b|| 解析：∵ab<0， ∴|a－b|＝|a|＋|b|， 又|a＋b|<|a|＋|b|， ∴|a＋b|<|a|＋|b|＝|a－b|. 答案：B

2．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

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C．充要条件

D．非充分非必要条件

解析：∵|x－a|＜m，|y－a|＜m， ∴|x－a|＋|y－a|＜2m.

又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|， ∴|x－y|＜2m.但反过来不一定成立，

如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5， 但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，

∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分非必要条件．

答案：A

3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( ) A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小 解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，

|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2， 当(a＋b)(a－b)<0时，

|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2. 答案：B

4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( ) A．|a|＜|b|＋|c| C．b＞|c|－|a|

B．|c|＜|a|＋|b| D．b＜||a|－|c||

解析：∵|a－c|＜b，令a＝1，c＝2，b＝3. 则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|＜|b|＋|c|成立． |c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|＜|a|＋|b|成立． ||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b＞||c|－|a||成立． 故b＜||a|－|c||不成立． 答案：D 二、填空题

q

px＋?________2pq.(填不等关系符号) 5．已知p，q，x∈R，pq≥0，x≠0，则?x??q

px＋?≥2pq， 解析：当p，q至少有一个为0时，?x??q

当pq>0时，p，q同号，则px与同号，

x

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qq

px＋?＝|px|＋??≥2pq， ∴?x???x?q

px＋?≥2pq. 故?x??答案：≥

1

6．(重庆高考)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取

2值范围是________．

115?1?x－?＋?x?+|x+2|?≥0＋??x－?－?x＋2??＝，当且仅当x解析：|2x－1|＋|x＋2|＝??2????2??22?1515

＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，222211

－1，?. 解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是?2??2

1

－1，? 答案：?2??

7．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9， 则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，

所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2. 答案：(－∞，2)

8．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数．给出下列函数：

①f(x)＝0；②f(x)＝x2；③f(x)＝2(sin x＋cos x)；

x

④f(x)＝2；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－

x＋x＋1f(x2)|≤2|x1－x2|.

其中是F函数的序号是________．

|f?x?|

解析：由|f(x)|≤m|x|，当x≠0时，知m≥，

|x||f?x?|

对于①，有＝0，x≠0，故取m＞0即可；

|x|对于②，由|x2|＝|x|2，∴

|f?x?|

＝|x|，无最大值； |x|

πx＋?， 对于③，由f(x)＝2sin??4?而

?2sin?x＋π??

?4??|f?x?|?

|x|＝|x|

无最大值；

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