2016新课标三维人教B版数学选修4-5 1.4 绝对值的三角不等式

1．4

绝对值的三角不等式

[对应学生用书P13]

[读教材·填要点]

绝对值的三角不等式

(1)定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|. 当且仅当ab≥0时，等号成立．

(2)定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立?(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．

①推论1：||a|－|b||≤|a＋b| ②推论2：||a|－|b||≤|a－b|

[小问题·大思维]

1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？ 提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.

2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？

提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？

提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|.

[对应学生用书P13]

[例1] (1)以下四个命题：

①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1； x2

③若|x|＜2，|y|＞3，则||＜；

y3

绝对值的三角不等式的应用 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn

|A|＋|B|1

④若AB≠0，则lg≥( lg|A|＋lg|B|)．

22其中正确的命题有( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

|a＋b|

(2)不等式≥1成立的充要条件是________．

|a|－|b|

[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a|＞|b|与|a|<|b|两类讨论．

[精解详析] (1)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； 1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确； 11|y|＞3，∴＜.

|y|3

|x|2

又∵|x|＜2，∴＜.③正确；

|y|3

?|A|＋|B|?2＝1(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)， ?2?4

1

≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|， 4|A|＋|B|∴2lg≥lg|A||B|.

2∴lg

|A|＋|B|1

≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确． 22

(2)当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0， ∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|. |a＋b|

∴必有≥1.

|a|－|b|即|a|>|b|是当

|a＋b|

≥1成立的充分条件． |a|－|b|

|a＋b|

≥1时，由|a＋b|>0， |a|－|b|

必有|a|－|b|>0. 即|a|>|b|，故|a|>|b|是故所求为：|a|>|b|. [答案] (1)A (2)|a|＞|b|

版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn |a＋b|

≥1成立的必要条件． |a|－|b|

(1)绝对值的三角不等式：|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．

(2)对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释： 定理的构 成部分 特征 大小 关系 等号成立的条件 中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左端|a|－|b| 可能是负的 ≤中间部分 左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立． 用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，中间部分|a±b| ≥左端 ≤右端 且|a|≥|b|时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号． 右端|a|＋|b|

1．(1)若x＜5，n∈N＋，则下列不等式： ①|xlg

nn

|＜5|lg|； n＋1n＋1

是非负的 ≥中间部分 中间部分为|a＋b|时，ab≥0，等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，等号成立. 肯定是非负的 nn②|x|lg＜5lg；

n＋1n＋1nn③xlg＜5|lg|；

n＋1n＋1nn④|x|lg＜5|lg|. n＋1n＋1

其中，能够成立的有________．

|a|－|b||a|＋|b|(2)已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )

|a－b||a＋b|A．m＞n C．m＝n

B．m＜n D．m≤n

n

解析：(1)∵0＜＜1.

n＋1

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∴lg

n

＜0. n＋1

由x＜5，并不能确定|x|与5的关系， ∴可以否定①②③，而|x|lg

n

＜0，④成立． n＋1

(2)∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|， |a|－|b||a－b|∴m＝≤＝1，

|a－b||a－b||a|＋|b||a|＋|b|n＝≥＝1.∴m≤1≤n.

|a＋b||a|＋|b|答案：(1)④ (2)D

[例2] 已知a，b∈R且a≠0， |a2－b2||a||b|求证：≥－.

2|a|22

[思路点拨] 本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a|＞|b|.所以本题应从讨论|a|与|b|的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决．

[精解详析] ①若|a|＞|b|， |a＋b||a－b|

左边＝ 2|a|＝＝

|a＋b||a－b||a＋b||a－b|

≥ |a＋b＋a－b||a＋b|＋|a－b|. 11＋|a＋b||a－b|

1111≤，≤， |a＋b||a|－|b||a－b||a|－|b|112＋≤. |a＋b||a－b||a|－|b|

1

利用绝对值的三角不等式证明不等式 ∵∴

|a|－|b|

∴左边≥＝右边．

2②若|a|<|b|，

左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立．

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