全国I卷2020届高三五省优创名校联考数学(理)试题Word版含答案

20．解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r， 因为动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切， 所以(x?2)2?y2?r?1，①

又动圆P与直线x＝－1相切，所以r＝x＋1，② 由①②消去r得y2＝8x，

所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．

（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y1），B（x2，y2），

则y20?8x0，y21?8x1，y22?8x2，

ky1?y08MA?x?，

1?x0y，kMB?y2?y081?y0x?2?x0y2?y0所以kMA?k8y?y?8?y1?y2?2y0)MB?8(2，③

10y2?y0y0?(y1?y2)y0?y1y2显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty－2，

联立方程组??y2?8x，消去

2?x?ty?2x得y－8ty＋16＝0，

y0），A（x1，由Δ＞0得t＞1或t＜－1，

所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2， 代入③式得kMA?kMB?8(8t?2y0)8(8t?2y0)?m（m，令22y0?8ty0?16y0?8ty0?16为常数），

整理得(8my0?64)t?(my02?16y0?16m)?0，④

因为④式对任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，

??8my0?64?0所以?2，

my?16y?16m?0?0?0所以??m?2?m??2或?，即?y0??4?y0?4M（2，4）或M（2，－4），

即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，－4）满足题意． 21．（1）解：因为f′（x）＝ex＋2ax， 所以f′（1）＝e＋2a，切点为（1，e＋a）， 所以切线方程为y＝（e＋2a）（x－1）＋（e＋a）， 因为该切线过点（0，1），所以a＝－1． 又g?(x)?1?，g′（1）＝1＋b，切点为（1，1），

所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1． （2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，g?(x)?1??1xx?1， xbx所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0， 所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值， 即g（x）min＝g（1）＝1．

（3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x＋1．

下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．

设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝ex－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝ex－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．

又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0， 所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，

所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．

故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．

又因为h（0）＝h（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0， 当且仅当x＝1时取等号，所以ex－（e－2）x－1≥x2． 由于

ex?(e?2)x?1≥x． x＞0，所以

xex?(e?2)x?1≥x≥1?lnx，又由（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以， x所以ex－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即ex－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1， 即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．

?x??cos?,22．解：（1）将?代入

y??sin??ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，

得x＋3y

22

x2y2＝48，即??1，

4816因为c2＝48－16＝32，所以F的坐标为（?4又因为F在直线l上，所以m??42．

2，0），

把直线l

?2t?x??42?2代入的参数方程???y?2t??2x2＋3y2＝48，

化简得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8， 所以|FA|?|FB|?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2?16?4?8?43． （2）由椭圆C的坐标为（4x2y2的方程??1，可设椭圆

4816C上在第一象限内的任意一点M

3cos?，4sinθ）（0???），

3cos??8sin??323sin2?3．

?2所以内接矩形的面积S?8?4，

当??时，面积S取得最大值3223．解：（1）当a＝2时，

?x?4,x≤?2?f(x)?|x?2|?|2x?2|??3x,?2?x?1，

??x?4,x≥1?当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5； 当－2＜x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈?； 当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1． 综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．

（2）因为x∈（0，2），所以f（x）＞x－2等价于|ax－2|＜4， 即等价于??a?，

所以由题设得??a?在x∈（0，2）上恒成立， 又由x∈（0，2），可知???1，?3， 所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1，3]．

2x6x2x6x2x6x