北京市朝阳区2020届高三上学期期中考试数学试题 (含答案)

3N0，解方程求得t即可. 51?1【详解】当t?5730时，N?N0?2?N0 ?经过5730年后，碳14的质量变为原来

2（2）令N?的

1 2t?3t335730?log2?log23?log25??0.7 令N?N0，则2? ??5573055?t?0.7?5730?4011 ?良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间

故答案为：

1；4011 2【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.在△ABC中，AB?27，点P在BC边上，且?APC?60o，BP?2. （Ⅰ）求AP的值；

（Ⅱ）若PC?1，求sin?ACP的值. 【答案】（Ⅰ）AP?4.（Ⅱ）sin?ACP?【解析】 【分析】

（Ⅰ）在?ABP中，利用余弦定理可构造关于AP的方程，解方程求得结果；

（Ⅱ）在?APC中，利用余弦定理求得AC；利用正弦定理可构造方程求得sin?ACP. 【详解】（Ⅰ）Q?APC?60o ??APB?120o

239 13?ABP中，AB?27，?APB?120o，BP?2

由余弦定理AB2?AP2?BP2?2AP?BPcos?APB得：AP2?2AP?24?0

?AP?4

（Ⅱ）在?APC中，AP?4，PC?1，?APC?60o

由余弦定理AC2?AP2?PC2?2AP?PCcos?APC得：AC?13 13

由正弦定理

APAC413?得： ?osin?ACPsin?APCsin?ACPsin60239 13?sin?ACP?【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的相关知识，关键是能够在已知两边及一角的情况下，熟练应用定理构造方程求得其余角和边，属于基础题型.

*18.已知{an}(n?N)是各项均为正数的等比数列，a1?16，2a3?3a2?32.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn?3log2an，求数列{bn}的前n项和Sn，并求Sn的最大值．

5?n【答案】（Ⅰ）an?2；（Ⅱ）Sn??32n?9n?，Sn最大值为30 ?2【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用a1和q表示出2a3?3a2?32，从而构造出关于q可求得q，根据等比数列通项公式求得结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn，由通项公式可验证出数列?bn?为单调递减的等差数列，根据等差数列求和公式求得Sn；根据b5?0，可确定n?4或5时，Sn最大，代入可求得最大值. 【详解】（Ⅰ）设等比数列?an?的公比为q

方程，结合?an?为正项数列

Qa1?16，2a3?3a2?32 ?2a1q2?3a1q?32q2?48q?32

即2q2?3q?2?0，解得：q??2或q?1 2Q?an?各项均为正数 ?q?1 2?1??an?16????2?n?1?25?n

5?n（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn?3log22当n?2时，bn?bn?1??3

?3?5?n??15?3n

的??bn?是首项为b1?12，公差为?3的单调递减的等差数列

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33?Sn?12n?n?n?1????n2?9n?

22又b5?0 ?数列?bn?的前4项为正数

?当n?4或5时，Sn取得最大值，且最大值为S4?S5?30

【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前n项和最值的求解问题；求解等差数列前n项和的最值的常用方法有两种：

①确定数列各项中的变号项，由数列的单调性可得最值取得的位置； ②根据前n项和的二次函数性质来确定最值的位置.

19.如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD?平面ABCD，

E为PD的中点，AD//BC,CD?AD，BC?CD?2，AD?4.

（Ⅰ）求证：CE//平面PAB； （Ⅱ）求二面角E?AC?D的余弦值；

（Ⅲ）直线AB上是否存在点Q，使得PQ//平面ACE?若存在，求出在，说明理由.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】

（Ⅰ）取PA中点F，结合三角形中位线和长度关系，可证得EF//BC且EF?BC，得到四边形EFBC为平行四边形，进而得到CE//BF，根据线面平行判定定理可证得结论； （Ⅱ）取AD中点O，由面面垂直性质可知PO?平面ABCD，由此可建立空间直角坐标系；分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；

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AQ的值；若不存ABAQ6?2． （Ⅲ）存在点Q， AB4uuuruuuruuuruuur（Ⅲ）设AQ??AB，利用空间向量表示出PQ，由线面平行可知PQ与平面的法向量垂直，

uuurr即PQ?n1?0，构造方程求得?，从而得到结论.

【详解】（Ⅰ）取PA中点F，连结EF,BF

QE,F为PD,PA中点，AD?4 ?EF//AD，EF?AD?2

又BC//AD，BC?2 ?EF//BC且EF?BC

12?四边形EFBC为平行四边形 ?CE//BF QCE?平面PAB,BF?平面PAB

?CE//平面PAB

（Ⅱ）取AD中点O，连结OP，OB

Q?PAD为等边三角形 ?PO?OD

Q平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD ?PO?平面ABCD QOD//BC，OD?BC?2 ?四边形BCDO为平行四边形 QCD?AD ?OB?OD

如图建立空间直角坐标系O?xyz，

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