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北京市朝阳区2020届高三上学期期中考试数学试题 (含答案)

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  • 2025/7/4 19:11:49

3N0,解方程求得t即可. 51?1【详解】当t?5730时,N?N0?2?N0 ?经过5730年后,碳14的质量变为原来

2(2)令N?的

1 2t?3t335730?log2?log23?log25??0.7 令N?N0,则2? ??5573055?t?0.7?5730?4011 ?良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间

故答案为:

1;4011 2【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题,考查对于函数模型中变量的理解,属于基础题.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

17.在△ABC中,AB?27,点P在BC边上,且?APC?60o,BP?2. (Ⅰ)求AP的值;

(Ⅱ)若PC?1,求sin?ACP的值. 【答案】(Ⅰ)AP?4.(Ⅱ)sin?ACP?【解析】 【分析】

(Ⅰ)在?ABP中,利用余弦定理可构造关于AP的方程,解方程求得结果;

(Ⅱ)在?APC中,利用余弦定理求得AC;利用正弦定理可构造方程求得sin?ACP. 【详解】(Ⅰ)Q?APC?60o ??APB?120o

239 13?ABP中,AB?27,?APB?120o,BP?2

由余弦定理AB2?AP2?BP2?2AP?BPcos?APB得:AP2?2AP?24?0

?AP?4

(Ⅱ)在?APC中,AP?4,PC?1,?APC?60o

由余弦定理AC2?AP2?PC2?2AP?PCcos?APC得:AC?13 13

由正弦定理

APAC413?得: ?osin?ACPsin?APCsin?ACPsin60239 13?sin?ACP?【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的相关知识,关键是能够在已知两边及一角的情况下,熟练应用定理构造方程求得其余角和边,属于基础题型.

*18.已知{an}(n?N)是各项均为正数的等比数列,a1?16,2a3?3a2?32.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)设bn?3log2an,求数列{bn}的前n项和Sn,并求Sn的最大值.

5?n【答案】(Ⅰ)an?2;(Ⅱ)Sn??32n?9n?,Sn最大值为30 ?2【解析】 【分析】

(Ⅰ)利用a1和q表示出2a3?3a2?32,从而构造出关于q可求得q,根据等比数列通项公式求得结果;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得bn,由通项公式可验证出数列?bn?为单调递减的等差数列,根据等差数列求和公式求得Sn;根据b5?0,可确定n?4或5时,Sn最大,代入可求得最大值. 【详解】(Ⅰ)设等比数列?an?的公比为q

方程,结合?an?为正项数列

Qa1?16,2a3?3a2?32 ?2a1q2?3a1q?32q2?48q?32

即2q2?3q?2?0,解得:q??2或q?1 2Q?an?各项均为正数 ?q?1 2?1??an?16????2?n?1?25?n

5?n(Ⅱ)由(Ⅰ)得:bn?3log22当n?2时,bn?bn?1??3

?3?5?n??15?3n

的??bn?是首项为b1?12,公差为?3的单调递减的等差数列

14

33?Sn?12n?n?n?1????n2?9n?

22又b5?0 ?数列?bn?的前4项为正数

?当n?4或5时,Sn取得最大值,且最大值为S4?S5?30

【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前n项和最值的求解问题;求解等差数列前n项和的最值的常用方法有两种:

①确定数列各项中的变号项,由数列的单调性可得最值取得的位置; ②根据前n项和的二次函数性质来确定最值的位置.

19.如图,在四棱锥P?ABCD中,侧面PAD是等边三角形,且平面PAD?平面ABCD,

E为PD的中点,AD//BC,CD?AD,BC?CD?2,AD?4.

(Ⅰ)求证:CE//平面PAB; (Ⅱ)求二面角E?AC?D的余弦值;

(Ⅲ)直线AB上是否存在点Q,使得PQ//平面ACE?若存在,求出在,说明理由.

【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)【解析】 【分析】

(Ⅰ)取PA中点F,结合三角形中位线和长度关系,可证得EF//BC且EF?BC,得到四边形EFBC为平行四边形,进而得到CE//BF,根据线面平行判定定理可证得结论; (Ⅱ)取AD中点O,由面面垂直性质可知PO?平面ABCD,由此可建立空间直角坐标系;分别求得两面的法向量,求得法向量夹角的余弦值;根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值;

15

AQ的值;若不存ABAQ6?2. (Ⅲ)存在点Q, AB4uuuruuuruuuruuur(Ⅲ)设AQ??AB,利用空间向量表示出PQ,由线面平行可知PQ与平面的法向量垂直,

uuurr即PQ?n1?0,构造方程求得?,从而得到结论.

【详解】(Ⅰ)取PA中点F,连结EF,BF

QE,F为PD,PA中点,AD?4 ?EF//AD,EF?AD?2

又BC//AD,BC?2 ?EF//BC且EF?BC

12?四边形EFBC为平行四边形 ?CE//BF QCE?平面PAB,BF?平面PAB

?CE//平面PAB

(Ⅱ)取AD中点O,连结OP,OB

Q?PAD为等边三角形 ?PO?OD

Q平面PAD?平面ABCD,平面PADI平面ABCD?AD ?PO?平面ABCD QOD//BC,OD?BC?2 ?四边形BCDO为平行四边形 QCD?AD ?OB?OD

如图建立空间直角坐标系O?xyz,

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3N0,解方程求得t即可. 51?1【详解】当t?5730时,N?N0?2?N0 ?经过5730年后,碳14的质量变为原来2(2)令N?的1 2t?3t335730?log2?log23?log25??0.7 令N?N0,则2? ??5573055?t?0.7?5730?4011 ?良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为:1;4011 2【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题,考查对于函数模型中变量的理解,属于基础题. 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17.在△ABC中,AB?27,点P在BC边上,且?APC?60o,BP?2. (Ⅰ)求AP的值; (Ⅱ)若PC?1,求sin?ACP的值. 【答案】(

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