2019年全国卷高考压轴卷数学理科 Word版含解析（最后一卷）

故f(??)?13?2则f(??)?22

n14．【答案】7

1??【解析】令x?1可得各项系数和：?1?1???13???256，据此可得：n?7，

1??1??3r3?x??展开式的通项公式为：Tr?1?C7xx??7??7?r21?r?1?r2， ?Cx7???x?r77740令21?r?0可得：r?6，令21?r?1可得：r?，不是整数解，

227据此可得：x项的系数是C67?7． 15.【答案】3 【解析】

?y?x?作出?x?y?2，表示的可行域，如图

?y?3x?6?变z?3x?yx?y2形?2目标函数，

??3?23,?1??x,y????1??x2?y222??2cos?，

其中?为向量a??3,?1与b??x,y?的夹角，由图可知，b??2,0?时?有最小值

??， 6b??x,y?在直线y?x上时，?有最大值

??5??5??5?，???， ??，即???6412612612目标函数z?3x?yx?y22的最大值为3，故选C．

16．【答案】32 【解析】由sin?ABC3?ABC6可得：cos， ??2323?ABC?ABC22． cos?223则sin?ABC?2sin由sin?ABC?ABC32可知：???45?，则?ABC?90?，

23221． 3由同角三角函数基本关系可知：cos?ABC?设AB?x，BC?y，AC?3z?x?0,y?0,z?0?，

9

162??2z??x2在△ABD中由余弦定理可得：cos?BDA?3，

432??2z316?z2?y2在△CBD中由余弦定理可得：cos?BDC?3，

432??z3由于?BDA??BDC?180?，故cos?BDA??cos?BDC，

16162??2z??x2?z2?y2??3即：3，整理可得：16?6z2?x2?2y2?0．①

43432??2z2??z3312242在△ABC中，由余弦定理可知：x2?y2?2xy???3z?，则：6z2?x2?y2?xy，

3339144代入①式整理计算可得：x2?y2?xy?16，

339由均值不等式的结论可得：16?2故xy?9，当且仅当x?32，y?Smax?1242416x?y?xy?xy， 33993据此可知△ABC面积的最大值为：2时等号成立，

21122??AB?BC?max?sin?ABC??9??32． 223三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

【答案】（1）an?3?2?n?1??2n?1，bn?3n；（2）Sn?2?【解析】（1）设?an?的公差为d，则由已知得a1a13?a42，

即3?3?12d???3?3d?，解之得：d?2或d?0（舍），所以an?3?2?n?1??2n?1； 因为b2?a4?9，所以?bn?的公比q?3，所以bn?3n． （2）由（1）可知cn?2n?2． 3n2n?1， 3n3572n?1572n?1所以Sn??2?3?．．．?n，3Sn?3??2?．．．?n?1，

33333331?1?2??1?n?1?1?2n?12n?43?3?2n?1?11?n?1??n?3??n?4?所以2Sn?3?2??2?．．．， n1333333??1?3 10

所以Sn?2?n?2． 3n18.（本小题满分12分）

【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）E?X??【解析】（1）由题意知?90,110?之间的频率为：1?20??0.0025?0.005?0.0075?2?0.0125??0.3，

0.3??0.0125?0.0050??20?0.65，获得参赛资格的人数为800?0.65?520人．

6． 7（2）在区间?110,130?与?130,150?，0.0125:0.0050?5:2， 在区间?110,150?的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间?110,130?与?130,150?各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X的可能取值为0，1，2，则：

0212C3C5C24C1215C25C2P?X?0??3?；P?X?1??3?；P?X?2??3?；

C77C77C77故X的分布列为：

X P 0 1 2 2 74 71 72416E?X??0??1??2??．

777719．（本小题满分12分） 【答案】（1）见解析（2）

13 13（1）证明：∵DE?平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴DE?AC，

又∵底面ABCD是正方形， ∴AC?BD． ∵BDDE?D，

∴AC?平面BDE．

（2）解：∵DA，DC，DE两两垂直， ∴建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，

∵BE与平面ABCD所成角为60?，即?DBE?60?，

11

∴

ED?3， DB6．

由AD?3，可知BD?32，DE?36，AF?则A(3,0,0)，F(3,0,6)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，

C(0,3,0)，

∴BF?(0,?3,6)，EF?(3,0,?26)． 设平面BEF的一个法向量为n?(x,y,z)，

??n?BF?0,???3y?6z?0,则?即? ??n?EF?0,??3x?26z?0,令z?6，则n?(4,2,6)．

∵AC?平面BDE，

∴CA为平面BDE的一个法向量， ∴CA?(3,?3,0)， ∴cos?n,CA??|n?CA|613． ??|n|?|CA|32?2613∵二面角F?BE?D为锐角， ∴二面角F?BE?D的余弦值为20.（本小题满分12分）

【答案】（1）x2?4y；（2）证明见解析．

【解析】（1）因为AF?FB，所以F到准线的距离即为三角形△ABC的中位线的长，所以AC?2p，根据抛物线的定义AC?AF，所以AB?2AC?4p，

BC?13． 13?4p?2??2p?2?23p，S△ABC?1?2p?23p?83， 2解得p?2，所以抛物线的标准方程为x2?4y．

（2）易知直线MN的斜率存在，设直线MN:y?kx?1，设M?x1,y1?，N?x2,y2?

2??x?4y 消去y得x2?4kx?4?0，得x1x2??4， 联立???y?kx?1xx2y?，y'?，设M?x1,y1?，N?x2,y2?，l1:2y?2y1?xx1，l2:2y?2y2?xx2，

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