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（1）题干中给出平面PBC?平面PCD，根据面面垂直性质定理可知，需要在其中一个平面内找到垂直于它们交线的直线，结合已知条件PD?CD，则可取PC的中点Q，接着易证BC?PD；要证PD?平面ABCD，则还需在平面ABCD中找到一条直线，证明其垂直于PD，由已知条件PA?BD锁定目标证明PD?BD，即要证BD?平面PAD，即要证BD?AD，在直角梯形ABCD中，易证BD?AD，故可证PD?BD；

（2）建系，套用空间向量法计算线面角的公式即可. 【知识点、能力点】

本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及利用空间向量法计算线面角，难度适中. 【题号】19 【答案】（1）详解：

（1）因为b?c?a?accosC?ccosA， 所以2bccosA?accosC?ccosA

即2bcosA?acosC?ccosA，由正弦定理得

22222? （2）3 32sinBcosA?sinAcosC?sinCcosA，

即2sinBcosA?sin(A?C)，∵sin(A?C)?sin(??B)?sinB， ∴2sinBcosA?sinB，sinB(2cosA?1)?0， ∵0?B??，∴sinB?0，cosA?∴A?1，∵0?A??， 2?3.

（2）S?ABC?13253，∴bc?25， bcsinA?bc?244b2?c2?a2b2?c2?251??，b2?c2?50， ∵cosA?2bc2?252∴(b?c)?50?2?25?100，即b?c?10。

23sinAsinAsinA?c??(b?c)?10?2?3. ∴sinB?sinC?b?aaa5【解题思路】

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（1）题目给出的条件左侧明显出现了余弦定理的分子形式，故应直接想到余弦定理，而等式右侧给出的形式均有c边，所以考虑可能会用到正弦进行边角转换或通过右边的余弦定理化简来消去c边，以达到化简的目的。经过操作后发现通过余弦定理的化简出现了等式左右两侧每一项都有边，故想到用正弦定理来完成边角转换，把所有的边都转化成角度来进行运算，从而完成角度的求解，最后根据正余弦互补角度的性质来进行具体角度的求值即可；

（2）题干中给出的条件是求解三角形面积，而对于此题我们的切入点只有通过正弦定理来进行面积的求解，由于第一问已经知道A的角度，故可以通过公式推出两条邻边的乘积，再利用余弦定理导出两个邻边平方得加和，目的在于导出两个邻边的加和。本题的难点在于学生要知道把结果利用正弦定理进行转化求解，不要单一的在问题上进行化简，转化后才能得到相应的过程与思路。 【知识点、能力点】 （1）正弦定理的基本内容； （2）余弦定理的基本内容； （3）利用正弦定理进行边角转换； （4）利用正弦定理求解三角形面积； （5）完全平方公式的灵活应用 【题号】20 【答案】

（1）连接OM,ON，底面ABCD为平行四边形， ∵N是CD的中点，O是BD的中点， ∴ON//BC，

∵M是AQ的中点，O是AC的中点，∴OM//QC，ON?OM?O,BC?QC?C， ∴平面OMN//平面QBC，MN?平面OMN，∴MN//平面QBC； （2）由AQ?平面?，AQ?平行四边形ABCD ∴平面?//底面ABCD，OP//AQ，OP?AQ?2， ∴四边形PQAO为矩形，且PO?底面ABCD，AD?DB，

过D作DZ//OP，以DA,DB,DZ所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系（如图）

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由AB?7,AD?3,AD?DB，知DB?2，

∴D(0,0,0),A(3,0,0),M(3,0,?1),N(3,0,?2),B(0,2,0),C(?3,2,0) ∴MB?(?3,2,1)，CB?DA?(3,0,0)，QB?(?3,2,2)，

??n1?MB??3x1?2y1?z1?0设平面MCB的法向量n1?(x1,y1,z1)，则?，取y1??1，z1?2，x1?0，

??n1?CB?3x1?0即n1?(0,?1,2)，

??n2?QB??3x2?2y2?z2?0设平面QCB的法向量n2?(x2,y2,z2)，则?，取y2??1，z2?2，

??n2?CB?3x2?0x2?0，即n2?(0,?1,1)，

∴二面角M?CB?Q的平面角?的余弦值cos??【解题思路】

（1）利用中位线定理，证明ON//BC,OM//QC，再利用面面平行的判定定理，可知平面OMN//平面

n1?n2|n1||n2|?310. 10QBC，由于MN?平面OMN，∴MN//平面QBC；

（2）根据题干相关信息以DA,DB,DZ所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据位置关系确定空间内点的坐标，求出平面MCB的法向量n1?(0,?1,2)，平面QCB的法向量n2?(0,?1,1)，根据夹角公式即可求出二面角的平面角的余弦值.

【知识点、能力点】中位线定理、面面平行的判定、线面平行的判定、利用空间向量求二面角的余弦值 【题号】21 【答案】

（1）由抛物线定义可得M(?c,7?b)，∴点M在抛物线2?4by上， 4- 15 -

∴c?4b(27?b)，即c2?7b?4b2① 4又由

c3222，得c?3b，将上式代入①，得7b?7b，解得b?1，∴c?3，∴a?2， ?a2x2?y2?1，曲线C2的方程为x2?4y. 所以曲线C1的方程为4（2）设直线MN的方程为y?kx?1，由?设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1x2??4， 设kON?m,kOM?m'，则mm'??y?kx?12?x?4y消去y整理得x?4kx?4?0，

21y2y111，② ??x1x2??，所以m'??4mx2x1164设直线ON的方程为y?mx（m?0），

?y?mx22由?2，解得x0?4m，所以|ON|?1?m|xN|?4m1?m， ?x?4y由②可知，用?111211代替m，可得|OM|?， 1?(?)|xM|?1?24mm4mm16m?y?mx221?m2?22由?x，解得xA?，所以|OA|?1?m|xA|?， 2224m?14m?1??y?1?411代替m，可得|OB|?1?|xB|?24m16m21?用?116m2， 1?14m2所以??S?OMN|ON||OM|??S?OAB|OA||OB|4m1?m2?111?1m16m2?4m2?1??1 24m121?221?m216m?214m?1?124m?4m2?2?11?2m??2，当且仅当m?1时等号成立. 24m2m所以?的取值范围为[2,??). 【解题思路】

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