2019届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题（解析版）

x?0时，f(x)??bx，即b?e1?x?令g(x)?e1?xx?1有唯一解 2x1ln2??1，g'(x)??e1?x?，g(x)min?g(1?ln2)? 222x?0时，g(x)?e?1，x???时，g(x)???，

所以要使b?e只需b?1?x?x?1在(0,??)有唯一解， 2ln2或b?e?1，故选D. 2【知识点、能力点】分段函数单调性，函数零点问题，利用导数判断函数最值. 【题号】13 【答案】7?1

【解题思路】反复利用模的平方等于向量的平方，以及向量的数量积解题.

|2m?n|2?(2m?n)2?4m?4m?n?n?10

因为|m|?m?1,|n|?n,m?n?|m||n|cos??所以4?2|n|?|n|2?10，解得|n|?1?7， 又因为|n|?0，所以|n|?2222221|n|， 27?1.

【知识点、能力点】平面向量的数量积 【题号】14 【答案】

10 5【解题思路】求解异面直线所成角一般两种方法：

一是向量法（理科首选），根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；

二是传统法，即平移法，就是将异面直线通过作平行线的方式转移到同一平面上，找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．平行线往往是利用平行四边形、作三角形中位线等． 以垂直于BC的方向为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系．

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则BC1?(0,1,1)，B1(0,0,1)，

由于?ABC?120，则yA?ABsin1200?3， 所以A(3,?1,0)，AB1?(?3,1,1) 设异面直线AB1与BC1所成角为?， 所以cos??0AB1?BC1|AB1||BC1|?1?110. ?52?5【知识点、能力点】异面直线所成角. 【题号】15 【答案】120 【解题思路】

本题利用捆绑法和先排有特殊要求的元素两个知识点.

42（1）当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有A4?A2?48种；

32（2）当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3?A3?A2?36种；

22222（3）当甲在第三位，前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况，共A2?A3?A3?A2?A2?36种，因此

共48?36?36?120种. 【知识点、能力点】排列与组合. 【题号】16 【答案】3 【解题思路】

本题考查外接球，首先选取一个面，使得这个图形的外心容易被找到，常见的选取面有直角三角形（斜边中点），正三角形（内心）等.

如图所示，令AB?a，PD?DB?OO'?h，

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则BO'?DO?3a， 3222在Rt?PDO中，DO?DP?PO，即(即

32a)?h2?(3)2， 312a?h2?3，得a2?9?3h2 311323233VP?ABC?S?ABC?PA??a?2h?ah?(9?3h2)h?(3h?h3)

334662令f(h)?3(3h?h3)，f'(h)?3?3h2， 2f(h)在(0,1)单调递增，在(1,??)单调递减，

所以h?1时，VP?ABCmax?3. 【知识点、能力点】外接球 【题号】17 【答案】

（1）数列{an}满足：a1?6，an?1?6an?9(n?N*) an1an?1?3?ana?3?3111??n??

6an?9?33(an?3)3(an?3)an?33an所以

1111111?为首项，为公差的等差数列； ??，即{}是以

3an?1?3an?33an?3a1?333(n?1)111??(n?1)?，解得an?，

nan?333（2）由（1）得

所以lgan?lg

3(n?1)?lg3?lg(n?1)?lgn， n- 11 -

前n项和Tn?(lg3?lg2?lg1)?(lg3?lg3?lg2)???[(lg3?lg(n?1)?lgn]

?nlg3?lg(n?1)

即T999?999lg3?lg(999?1)?999lg3?3 【解题思路】（1）题干求证数列{111利用定义法，结合已知条件，推导出}是等差数列，?an?3an?1?3an?33(n?1)1，进而化简得}是等差数列，求得an?nan?3等于一个定值即可；（2）由（1）中数列{lgan?lg3(n?1)?lg3?lg(n?1)?lgn，再利用裂项相消法求得{lgan}前n项和即可. n【知识点、能力点】

（1）第一问求证考查利用定义法来判断一个数列为等差数列，即后一项与前一项差值为定值；（2）数列通项结合对数函数基本运算公式，再利用裂项相消法求得{lgan}前n项和Tn得简化形式，进而求解. 【题号】18 【答案】

（1）取PC中点为Q，则由CD?PD?DQ?PC?DQ?平面PBC?DQ?BC与CD?BC

?BC?平面PDC?BC?PD（*），连接BD，在直角梯形ABCD中，易求得BD?22,AD?22，

222而AB?4，则AD?BD?AB，即BD?AD与BD?PA可得BD?平面PAD?BD?PD（*），

故PD?平面ABCD.

（2）以D为原点，DA,DB,DP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则

A(22,0,0)，B(0,22,0)，P(0,0,2)，M(2,0,0)，N(0,2,1).

平面

PAD的法向量为

DB?(0,22,0)，故所求线面角的正弦值为410 ?55?22- 12 -

|cos?MN,BD?|?|【解题思路】

MN?BD|MN||BD||?