魏宗舒 概率论与数理统计课后习题答案，第三章起

第三章 连续型随机变量

3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a) 解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)； （2）P(??a)?F(a?0)； （3）P(??a)=1-F(a)； （4）P(??a)?1?F(a?0)。

1是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果

1?x2（1）???x???

（2）0?x??，在其它场合适当定义； （3）-??x?0，在其它场合适当定义。

3.2 函数F(x)?解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义

?F(x)???x?0~F(x)??x?0?1则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

~3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为 （1）[0,?3（2）[0,?]；（3）[0,?]。 ]；22解：（1）当x?[0,布密度； （2）因为

?2?]时，sinx?0且?2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分

0?x0sinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；

（3）当x?[?,?]时，sinx?0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。 3.4 设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的

321a?0,有（1）F(?a)?1?F(a)??2 （2）P（??a)?2F(a)?1； （3）P(??a)?2?1?F(a)?。 证：（1）F(?a)??a0p(x)dx；

??a??p(x)dx?1??p(x)dx

?a? =1??a??ap(?x)dx?1??p(x)dx

??a =1?F(a)?1? ? （2）P(??a??0??p(x)dx

?0a1ap(x)dx???p(x)dx；

20p(x)dx?2?p(x)dx，由（1）知

0a??a1-F(a)? 故上式右端=2F(a)?1；

a1??p(x)dx 20 （3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。

3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明

F(x)?aF1(x)?bF2(x)

也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与

F2(x)都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，

F2(x1)?F2(x2)，于是

F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)

又

x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?0

x???x??limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1

x??F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)

所以，F(x)也是分布函数。

取a?b?1，又令 2?0x?0F1(x)???1x?0这时

x?0?0?F2(x)??x0?x?1

?1x?1??0?1?xF(x)???2?1x?00?x?1 x?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而

F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。

3.6 设随机变数?的分布函数为

?1?(1?x)e?xF(x)???0求相应的密度函数，并求P(??1)。 解：

x?0 x?0d[1?(1?x)e?x]?xe?x，所以相应的密度函数为 dx?xe?xp(x)???0x?0x?0

2P(??1)?F(1)?1?。

e3.7 设随机变数?的分布函数为

?0?F(x)??Ax2?1?求常数A及密度函数。

x?00?x?1 x?1解：因为F(1?0)?F(1)，所以A?1，密度函数为

?2x0?x?1 p(x)??其它?03.8 随机变数?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。

解：因为limF(x)?A?B(?x????2)?0

limF(x)?A?Bx????2?1

11,B? 2?所以

A?因而

F(x)?111?arctgx,p(x)?F?(x)?。 22??(1?x)3.9 已知随机变数?的分布函数为

?x?p(x)??2?x?0?（1） 求相应的分布函数F(x)；

0?x?11?x?2 其它（2） 求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。

x?0?0?x12ydy?x0?x?1???02解：F(x)?? 1x12??ydy??(2?y)dy?2x?x?11?x?212?0?x?2?118P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245 P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.66P(??0.5)?F(0.5)?3.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 （1）p(x)?Ae?x；

????Acosx??x?（2）p(x)??22

?其它?0?Ax2?p(x)??Ax?0?1?x?22?x?3 其它?0（3）

解：（1）

????Ae?xdx?2A?e?xdx?2A?1所以A?1； 2