一元整式方程的解

21.1 一元整式方程

教学重点及难点

重点:理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念及解法. 难点: 解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程中的分类讨论. 教学过程设计

一、 问题引入1 1．思考

根据下列问题列方程：

（1） 买3本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价；

（2） 买a（a是正整数）本同样的练习本共需12元钱，求练习本的单价； （3） 一个正方形的面积的4倍等于16平方厘米，求这个正方形的边长； （4） 一个正方形的面积的b（b＞0）倍等于s（平方单位），求这个正方形的边长. 2．讨论

你所列出的方程之间有什么区别和联系? 二、 新课学习1 1、 归纳概念1 在方程ax?12和bx2?s中，x是未知数;字母a、b是项的系数，s是常数项，它们都表示已知数，我们称这样的方程是含字母系数的方程，这些字母叫做字母系数.（2）、（4）问题中的方程就分别是含字母系数的一元一次方程和一元二次方程. 2．讲解例题

例题1 解下列关于x的方程：(学生进行尝试性地类比解题) （1）(3a?2)x?2(3?x);

（2）bx2?1?1?x2(b??1).

3、思考

含字母系数的方程与不含字母系数的方程在解的过程中存在什么区别吗？ 4、结论

含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论. 三、问题引入2

（1） 有一块边长为10分米的正方形薄铁皮，在它的四个角上分别剪去大小一样的一

个小正方形，然后做成一个容积为48立方分米的无盖长方体物件箱.设小正方形的边长为x分米，根据题意列方程；

（2） 某厂2006年产值为100万元，计划到2010年产值增长到161.051万元.设每年

的平均增长率为x,根据题意列方程. 四、 新课学习2

1、整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;

2、一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程. 3、一元高次方程

（1）概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样

的方程统称为一元高次方程。

（2）特点：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.

2．讲解例题

例题2 判断下列关于x的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?

1(1)x2?a3x?1?0;2x?21(4)?;2x3

(2)4x3?81?0;(5)2?x?a2?2a?3;x(3)3a?2x?5x?1; a(6)x4?7x2?8?0.

21.2（1）特殊的高次方程的解法

教学目标

知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法； 过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐. 教学重点及难点

重点：掌握二项方程的求解方法.

难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计 一、 情景引入 1．复习提问

复习：请同学们观察下列方程

22(1) 2x+1=0； (2) x?5x?6?0； (3) 2x?4x?3?0；

(4)

3153=3； (5) x?8?0； (6) x?16?0； x?223432(7)5x?18?0； (8)t?3t?t?2t?3?0；(9)y4?3y2?10?0.

提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？ （2）后5个方程与前3个方程有何异同？

（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？ （学生口述后，教师简单小结） 二、学习新课 1．概念辨析 （1）一元高次方程

（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.

（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. （3）一般形式：

关于x的一元n次二项方程的一般形式为

axn?b?0(a?0,b?0,n是正整数）

三、巩固练习

1．判断下列方程是不是二项方程：

134（1）x?8?0； （2）x?x?0；

2（3）x5?9； （4）x3?x?1.

题型一、含字母系数的方程

注意：含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论. 基本题型：方程ax?b的解的情况： 当a?0时，方程有唯一的解，解为x?b a当a?0,b?0时，方程有无数解，解为任意实数 当a?0,b?0时，方程没有实数解. 随堂练习

a?ax2?1??2a?x2；

b2x2?b2x?b2?b2； mx2?1?9?mx2?m?0?

解下列简单的高次方程：

33415（1）x?8（2）x?16（3）x?16?0（4）5x?118?0

??2??22分层作业：（1）解方程y3?4?0

4（2）在上述方程中，若y=x+1时，求x 的值. （3）解二项方程：2(1?3x)?10?0

21.2（2）特殊的高次方程的解法

教学重点及难点

掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数. 教学过程设计 一、情景引入 1．复习

请同学们解下列一元二次方程：

(1)y?5y?4?0 (2) 2y?y?1?0

（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）

222．思考：

若令y?x2,则方程变形为（1）x4?5x2?4?0，（2）2x4?x2?1?0

如何求解上述方程？

[说明]以前的教学中已经提及过换元法，经过前题中一元二次方程的求解的铺垫，大部分学生都能独立解决以上两题，并可以自然过渡到新课的讲解. 3．观察：

提问：以下哪些方程与x4?5x2?4?0，2x4?x2?1?0具有共同的特点？ （1）x4?14x2?45?0（2）x3?7x2?60x?0（3）x3?2x2?5x?10?0 （4）2x4?3x2?1?0（5）

14x?x3?1?0 2这类方程有什么共同的特点？ 二、学习新课 1．概念辨析

（1）双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. 注当常数项不是0时，规定它的次数为0. （2）一般形式：ax4?bx2?c?0(a?0)

（3）学生归纳：如何求解双二次方程？ 分析求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2．例题分析 例4：解下列方程：

4242（1）x?9x?14?0（2）x?5x?24?0

42例5：解方程x?9x?20?0

分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把x2看作一个整体直接求解. 3．问题拓展 （1）自主探究：

不解方程，判断下列方程的根的个数：

4242①x?5x?6?0；②2x?3x?1?0；

4242③x?2x?4?0；④2x?6x?3?0.

分析：令y?x

①△>0,y1y2>0,y1+y2>0 ∴原方程有四个实数根. ②△>0,y1y2>0,y1+y2<0 ∴原方程没有实数根. ③△>0,y1y2<0, ∴原方程有两个实数根. ④△<0 ∴原方程没有实数根. 三、巩固练习

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