2017版高中数学选修2-3同步导学案（23份） 北师大版2（精汇教案）

§ 排列

第课时 排列与排列数公式

．理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法．(重点) ．能用列举法，写出一个排列问题的所有的排列．(易混点) ．能用排列数公式解决无限制条件的排列问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理 排列的概念

阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题． ．排列

一般地，从个元素中取出(≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从个元素中任意取出个元素的一个排列．

．排列相同的条件

两个排列相同，当且仅当两个排列的元素，且元素的也相同． 【答案】 .不同的 不同的 .完全相同 排列顺序

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

()两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )

()从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )

()有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( )

()从中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( ) 【解析】 ()× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同． ()√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．

()× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．

()√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．

【答案】 ()× ()√ ()× ()√ 教材整理 排列数及排列数公式

阅读教材“练习”以下至“例”以上部分，完成下列问题．

排列数 定义 排列数表示法 排列数 公式 乘积式 阶乘式 性质 备注 从个不同元素中取出(≤)个元素的所有的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的排列数 ＝ ＝ ＝，！＝ ，∈＋，≤ 【答案】 排列 (－)(－)…(－＋) ！

．＝，＝. 【解析】＝×＝； ＝××＝. 【答案】 ＝.

【解析】＝＝. 【答案】

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑：

[小组合作型]

排列的概念 判断下列问题是否为排列问题． ()北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； ()选个小组分别去植树和种菜； ()选个小组去种菜； ()选人组成一个学习小组；

()选个人分别担任班长、学习委员、生活委员； ()某班名学生在假期相互通信．

【精彩点拨】 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．

【自主解答】 ()中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．

()植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． ()()不存在顺序问题，不属于排列问题．

()中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．

()给写信与给写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中()()()属于排列问题．

．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”． ．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．

[再练一题]

．判断下列问题是否是排列问题．

()从到十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？

()从名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？

()某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？

【解】 ()由于取出的两个数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的

顺序有关，所以这是一个排列问题．

()因为从名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．

()因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 综上，()、()是排列问题，()不是排列问题．

写出下列问题的所有排列． ()从四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ ()写出从个元素，，，中任取个元素的所有排列． 【精彩点拨】 ()直接列举数字． ()先画树形图，再结合树形图写出．

【自主解答】 ()所有两位数是，共有个不同的两位数． ()由题意作树形图，如图．

排列的列举问题

故所有的排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有个．

在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.

[再练一题]

．()北京、广州、南京、天津个城市相互通航，应该有种机票.

【导学号：】

()，，，四名同学排成一排照相，要求自左向右，不排第一，不排第四，共有种不同的排列方法．

【解析】 ()列出每一个起点和终点情况，如图所示．