简支梁固有频率及振型函数

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简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导

一．等截面细直梁的横向振动

取梁未变形是的轴线方向为X轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为y轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为

y=y(x,t) (1)

除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：

?2yEI2?M(2) ?x

其中，E是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI为梁的弯曲刚度，M代表x截面处的弯

矩。挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q的正向则规定与y轴相同。在这些规定下，有：

?M?Q?Q，?q (3)?x?x

于是，对方程（2）求偏导，可得：

??2y?M?2?2y?Q(EI2)??Q，2(EI2)??q ?x?x?x?x?x?x

(4)

考虑到等截面细直梁的EI是常量，就有：

?3y?4yEI3?Q，EI4?q ?x?x

(5)

方程（5）就是在等截面梁在集度为q的分部李作用下的挠曲微分方程。 应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为

?2yq???2(6)

?t

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其中?代表梁单位长度的质量。假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：

?4y?2yEI4????2 ?x?t

(7)

其中a?EI/?。

为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。假设方程的解为：

2 y(x,t)=X(x)Y(t)

(8)

将式（8）代入（7），得：

1?2Ya2d4X?? (9) 24Y?tXdx

上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x，因此要使对于任何x,t上式均成立，必须二者

2

均等于一个常数。将这一常数记为-p.

于是有：

?2Y?p2Y?0 2 ?t(10)

d4X42??X?0,??p/a (11) 4 dx方程（10）的通解为：

Y（t）=Asinpt+Bcospt (12) 其中，A,B为积分常数。 方程（11） 的通解为：

(13)

X(x)?C1ch?x?C2sh?x?C3cos?x?C4sin?x

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二．简支梁的固有振型和固有频率

简支梁的边界条件为：

X（0）=0，X’’(0)=0.

X（l）=0，X’’(l)=0 所以有：C1?C2?C3?0 特征方程为:

sin?l?0

由此得特征值为：?i?i?,l?1,2,??? l与此相应的固有频率为

pi?(i?)2而对应的振型函数为

EI,l?1,2,??? ?l4Xi(x)?sin?ix?sin

i?x,l?1,2,???l

王舒雅，1130109125

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