2019-2020学年人教A版数学选修2-3课时规范训练：2.4正态分布

第二章 2.4

【基础练习】

1．关于正态曲线特点的叙述：

①曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方； ②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；

③曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；

④曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”．

其中正确的是( ) A．①②③ C．②③④ 【答案】B

2

2．(2017年沈阳模拟)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象

B．①③④ D．①②③④

如图所示，则( )

A．μ1<μ2，σ1<σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 【答案】A

3．(2017年武汉四校联考)设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝( ) A．0.3 C. 0.6

B. 0.4 D．0.7

B．μ1<μ2，σ1>σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2

【答案】D

?x－10?21

4．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象且f(x)＝φμ，e－，σ(x)＝88π则这个正态总体平均数与标准差分别是( )

A．10与8 C．8与10 【答案】B

N(10,0.12),现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在区间(10,10.2)内的袋数，则X的数学期望约为( )

注：若Z~N(μ,σ2)，则P(μ-σ

【答案】B

6．若随机变量服从正态分布ξ～N(2,1)且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>1)＝________. 【答案】0.841 3

7.(2019年湖南模拟)某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试3成绩X~N(100,σ2).统计结果显示数学考试成绩X在80分到120分之间的人数约为总人数的4，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________． 【答案】3250 【解析】因为成绩X~N(100,σ2)，所以正态分布曲线关于X=100对称，又成绩在80分到120分3131之间的人数约占总人数的4，所以成绩不低于120分的学生人数占总人数的2×(1-4)=8，所以此1次考试成绩不低于120分的学生约有8×26000=3250. 8．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率．

B．10与2 D．2与10

1

【解析】由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为，

2113

元件1或元件2正常工作的概率为1－×＝，

224133

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为×＝. 248

【能力提升】

9．(2018年娄底期末)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg的概率为(注：P(μ－σ

A．0.001 3 C．0.158 7 【答案】B

1

【解析】因为袋装大米质量服从正态分布N(10,0.12)，所以P(ξ<9.8)＝[1－P(9.8<ξ<10.2)]

211

＝[1－P(10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)]＝(1－0.954 4)＝0.022 8. 22

10.(2019年鄂尔多斯期末)已知随机变量X~N(6,1)，且P(5

1

【解析】因为X~N(6,1)，则正态分布曲线关于x=6对称，所以P(4

[P(4

?x＋2?21

11．(2016年泉州二模)若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝e－(x∈

822πR)，则E(2X－1)＝________.

【答案】－5

【解析】依题意，得σ＝2，μ＝－2，则E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5. 12.(2019年梧州期末)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质

量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图.

B．0.022 8 D．0.034 6

_

(1)求这1000件产品质量指标的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样_

本平均数x,σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P(175.6

_

x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，则

s2=(170-200)2×0.02+(180-200)2×0.09+(190-200)2×0.22+(200-200)2×0.33+(210-200)2×0.24+(220-200)2×0.08+(230-200)2×0.02=150. (2)①由(1)可得μ=200,σ=150≈12.2，则Z~N(200,12.22), 所以P(175.6