数字信号处理

数字信号处理讲义

1.4.6. Parseval定理

序列的能量

n????|x(n)|?2?n??????x(n)?x(n)?*n?????x*(n)[12?12??????x(ejw)ejwndw]12?1?2??????x(e)?x*(n)ejwndw?jwn????????x(ejw)x*(ejw)dw??????|x(ejw)|2dw知道结果和定义——能量一致.

DFT中的Parseval定理要掌握.

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1.5 系统函数

分析离散时间系统的三种方法

（1）.经典法，用数学的方法求得特征根和齐次根 （2）.递推法.不适用高阶差分方程 （3）.变换域法.Z，DTFT，及其性质。

一. 系统函数H(z) 定义：H(z)??h(n)z?n

n???? y(n)?x(n)?h(n) Y(z)?X(z)H(z) 所以H(z)?Y(z) X(z)

若差分方程

?by(n?i)??ax(n?i)

iii?0i?0NM Z变换

?bZii?0N?i4 y(n?i)??aiZ?ix(n?i) P16性质○

i?0M所以 H(z)?Y(z)?X(z)1??akzk?1k?0N?bkz?k

?kM ?A??i?1i?1NM(1?ciz?1)

(1?diz?1)

z?ci为系统的零点，z?di为系统的极点。

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例4 y(n)?ay(n?1)?x(n) 求单位脉冲响应h(n)

解：○1 Y(Z)?aZ?1Y(Z)?X(Z)

H(Z)?Y(Z)1z= |z|?a. ?X(Z)1?aZ?1z?aan??n?n ○2 H(Z)??()??a?z

n?0zn?0所以

??h(n)??an,0?n?M?1i?1,2 0,else其中 h(n)无限长序列，即为“无限长单位脉冲响应” IIR

例5 求 h(n)中的一段的H(Z)

h(n)?n????an,0?n?M?10,else

M?1n?0n?n解：H(Z)??az??n?n??az??azn?0??n?n??anz?n n?M??1?aMz?M = = ?11?azzM?aM = M?1

z(z?a)?an?0??n?nz?azM?M?an?0??n?nz 其中

h(n)为有限长序列，系统称为“有限长单位脉冲响应系统”

FTR 因为P14讨论○1中，所以FTR Z变换在整个|z|>0上收敛，H（z）不可有

极点H(Z)??azi?0Mi?1Mi?i1??biz?i极点出现H(Z)?....?而

只要bi ，i?1,2….. 有一个不为零则有

1?....的形式就会出现

1?biz?i1是无限序列Z变换的结果 系统就成了IIR i?i1?bz

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二．逆系统

1定义：G(z)??A?1H(z)??i?1i?1MN(1?diz?1)

(1?ciz?1)收敛域由G(z)与H(z)的收敛域交集决定.

三．因果不稳定系统的Z变换. 1.因果系统 ?n?0时，h(n)?0

由P14例○1 可知 .|z|>a. (a是一个极点) 结论：因果系统?H(z)收敛域包含z??

2. 稳定系统 ? 假设|z|=1,

所以 H（z）=?h(n)z?n?? 收敛

n?????n?????h(n)??

? |H(z)?|n????h|n()Z|?|n??|收敛

收敛域包含单位圆即满足稳定

结论：稳定系统 ?H(z)包含|Z|=1 即 单位圆。

3.因果稳定系统?H(z)收敛域包含1?z??

1中|a|< 即所有极点均在单位圆内.例○1

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