福建省福州市2017-2018学年高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?m, 因为直线l与O相切，所以

?x22m??y?122消去y，整理得?1，即m?1?k, 由?321?k?y?kx?m??1?3k?x22?6kmx?3?m2?1??0,

??36k2m2?12?1?3k2??m2?1??12?1?3k2?m2??24k2, 由??0，得k?0，设

3?m2?1?6km, 所以,x1x2?P?x1,y1?,Q?x2,y2?，则x1?x2??221?3k1?3kx1?x2?PQ??x1?x2??4x1x2?22226k，所以21?3k?1?k2x1?x2

22?x1?x2???y1?y2?26k1?3k2?1?k2?23?1?k?2k1?3k2?1?k??2k22?2321?3k2?3, 当且仅当

1?k2?2k2, 即k??1时，PQ取得最大值3.综上所述，PQ最大值为3. 21.解：（1）f?x??lnx?a1ax?a?1的定义域为?0,???，且f'?x???2? . 若a?0，xxxx2则f'?x??0，于是f?x?在?0,???上单调递增，故f?x?无最小值，不合题意，若a?0，则当0?x?a时，f'?x??0;当x?a时，f'?x??0. 故f?x?在?0,a?上单调递减，在

?a,???上单调递增.于是当x?a时，f?x?取得最小值lna. 由已知得lna?0, 解得a?1.

综上，a?1.

（2）①下面先证当x??0,??时，e??lnx?1?sinx?0. 因为x??0,??, 所以只要证

x1exex1?1?lnx.由（1）可知?1?lnx, 于是只要证?，即只要证xex?sinx?0,

xsinxsinxx令h?x??xe?sinx，则h'?x???x?1?e?cosx,当0?x??时，

xxh'?x???x?1?ex?cosx?1e0?1?0, 所以h?x?在?0,??单调递增，所以当0?x??时，

xex?nisx0?，即x故当x??0,??时，不等式e??lnx?1?sinx?0成立 .h?x??h?0??0，

② 当x??????时，由（1）知

11?1?lnx, 于是有x?1?ln，即x?1?lnx,所以xxex?e1?lnx, 即ex?ex,又因为ex?e?1?lnx?, 所以ex?e?1?lnx?,所以

ex??lnx?1?sinx?e?lnx?1???lnx?1?sinx??e?sinx?lnx??e?sinx??0,综上，不

等式

ex??lnx?1?sinx?0成立.

22.解：（1）因为BE是

O的切线，所以?EBD??BAD,因为BD?DC, 所以BD?DC,

所以?BAD??CAD,所以?EBD??CAD.

（2）若AD为O的直径（如图），连结OB，则OB?BE，由OB?OD?BD?1，可得

?BOE?60，在Rt?OBE中，因为tan?BOE?BE，所以BE?tan60?3. OB

???x?7cos??x?7cos?23.解：（1） 由?,得?,所以曲线C1的普通方程为

???y?2?7sin??y?2?7sin?x2??y?2??7.

2把x??cos?,y??sin?, 代入?x?1??y?1,得??cos??1????sin???1,化简

2222得，曲线C2的极坐标方程??2cos?. （2）依题意可设A??1,将?????????2,B?,??2?.因为曲线C1的极坐标方程为??4?sin??3?0,6??6??6???0?代入曲线C1的极坐标方程得?2?2??3?0,解得?1?3.同理将

3.所以AB??1??2?3?3.

???6???0?曲线C2的极坐标方程得?2?

24.解：（1）a?1时，原不等式可化为x?1?x?1?1, 当x??1时，原不等式化为

?1?x???x?1??1,即2?1，此时，不等式的解集为?x|x??1?.当?1?x?1时，原不等式

化为??x?1???x?1??1,即

11??x??，此时，不等式的的解集为?x|?1?x???.当x?1时，原不等式化为

22???1?x???x?1??1,即?2?1，此时，不等式的的解集为?.综上,原不等式的解集为

1??x|x????.

2??（2）不等式f?x??3x?0的解集包含?x|x??1?,等价于x?a?3x?0,对x????,?1?恒成立，即

所以3x?x?a??3x，即4x?a??2x对x????,?1?x?a??3x对x????,?1?恒成立，恒成立，故a的取值范围为??4,2?.