2020高考数学(理)一轮突破热点题型：第5章 第5节 数列的综合问题

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第五节 数列的综合问题

考点一 等差、等比数列的综合问题

[例1] 在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．

*

(1)设bn＝an＋1－an(n∈N)，证明：{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式；

*

(3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：此时对任意的n∈N，an是an＋3与an＋6的等差中项．

[自主解答] (1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.又b1＝a2－a1＝1，q≠0，

所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列．

－

(2)由(1)，得a2－a1＝1，a3－a2＝q，…，an－an－1＝qn2(n≥2)．

－

将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋q2＋…＋qn2(n≥2)．

n，q＝1，??

所以当n≥2时，有an＝?1－qn－1上式对n＝1也成立，

1＋，q≠1.?1－q?n，q＝1，??

所以数列{an}的通项公式为an＝?1－qn－1

1＋，q≠1.?1－q?

(3)由(2)，得当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1.

由a3是a6与a9的等差中项，即2a3＝a6＋a9，可得2q2＝q5＋q8， 由q≠0，得q6＋q3－2＝0，整理，得(q3)2＋q3－2＝0，

3

解得q3＝－2或q3＝1(舍去)．于是q＝－2.

－＋＋

1－qn11－qn21－qn5

而an＝1＋，an＋3＝1＋，an＋6＝1＋，

1－q1－q1－q

＋＋＋＋

1－qn2?1－qn5?2－qn2－qn5??所以an＋3＋an＋6＝?1＋＋?1＋＝2＋＝2＋1－q?1－q?1－q????

－－－－－－

2－q3×qn1－q6×qn12－?－2?qn1－?－2?2qn12－2qn1?1－qn1?

＝2＋＝2＋＝2?1＋?＝2an.

1－q?1－q1－q1－q?

所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．

【方法规律】

解决等差、等比数列的综合问题的方法

对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．

已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

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c1c2cn

(2)设数列{cn}对n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.

b1b2bn

解：(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，

∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(∵d>0)．∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.

－－

又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3·3n2＝3n1.

cn－1c1c2cnc1c2

(2)由＋＋…＋＝an＋1，得当n≥2时，＋＋…＋＝a.

b1b2bnb1b2bn－1n

cn－

两式相减得：n≥2时，＝an＋1－an＝2.∴cn＝2bn＝2·3n1(n≥2)．

bn

??3，n＝1，c1

又当n＝1时，＝a2，∴c1＝3.∴cn＝?n－1

b1?2·3，n≥2.?

6－2×32 013

∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 013＝3＋＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.

1－3

考点二 数列在实际问题中的应用

[例2] 某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨．

(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？

(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．

??8292

?参考数据： ≈0.950 5， ≈0.955 9?

33??

[自主解答] (1)设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，

依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，

5×?5－1?

所以y＝5×9.3＋×(－0.3)＝43.5(万吨)．

2

所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨． (2)由已知得， 2012年的SO2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，

所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1－p的等比数列． 82

由题意得0

3

所以1－p<0.950 5，解得p>4.95%.所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%,1)．

【方法规律】

解决数列应用题应注意的问题

解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求an还是Sn，特别是要弄清项数．

某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．

(1)用d表示a1， a2，并写出an＋1与an的关系式；

(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资

9×(1－p)8＜6，由于

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金d的值(用m表示)．

解：(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，

35

a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d.

223

an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.

2

3

(2)由(1)得an＝an－1－d

2

33

a－－d?－d (3)＝?2?2n2?3?23＝?an－2－d－d ?2?2…

3?n－1?3?3?2＋…＋?3?n－2?. ＝?a1－d1＋＋?2???2??2?2?

3?n－1

??3?n－1－1?＝?3?n－1(3 000－3d)＋2d. 整理得an＝?(3 000－d)－2d?2???2???2?3?m－1

由题意，am＝4 000，即??2?(3 000－3d)＋2d＝4 000.

??3?m－2?×1 000＋??2??1 000?3m－2m1?

解得d＝＝.

3m－2m?3?m－1

?2?

＋

1 000?3m－2m1?

故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为

3m－2m

4 000万元．

高频考点 考点三 数列与函数、不等式的综合问题

1．数列与函数、 不等式的综合问题是每年高考的重点，多为解答题，难度偏大，属中高档题．

2．高考对数列与函数、不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度： (1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题．

2－(n2＋n－1)S－(n2＋n)＝[例3] (2013·江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足：Snn

0.

(1)求数列{an}的通项公式an；

n＋15*，都有T<(2)令bn＝，数列{b}的前n项和为T.证明：对于任意的n∈N. nnn

64?n＋2?2a2n

222

[自主解答] (1)由S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，得[Sn－(n＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2， n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.

1?n＋1n＋11?1－(2)证明：由于an＝2n，故bn＝＝＝. 2?n＋2?2a24n2?n＋2?216?n?n＋2?2?n

1111111111Tn＝1－2＋2－2＋2－2＋…＋－＋－ 1632435?n－1?2?n＋1?2n2?n＋2?2

1111115

1＋2?＝. ＝?1＋22－?n＋1?2－?n＋2?2?

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数列与函数、不等式的综合问题的常见类型及解题策略

(1)数列与不等式的恒成立问题．此类问题常构造函数，通过函数的单调性等解决问题． (2)与数列有关的不等式证明问题．解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．

7

已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＝－，且对于任意的n∈N*，

16

有Sn，Sn＋2，Sn＋1成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

b1??b2??b3??bn?，若(n－1)2≤m(Tn－n－1)(2)已知bn＝n(n∈N*)，记Tn＝?＋＋＋…＋?a1??a2??a3??an?

对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)设数列{an}的公比为q.∵S1，S3，S2成等差数列，∴2S3＝S1＋S2，

17

∴2a1(1＋q＋q2)＝a1(2＋q)，解得q＝－，又a1＋a4＝a1(1＋q3)＝－，

216

11－

－?n. ∴a1＝－，∴an＝a1qn1＝??2?2

1bn

－?n，∴??＝n·(2)∵bn＝n，an＝?2n， ?2??an?

∴Tn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①

＋

2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n1，②

＋

①－②，得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n1，

＋

2－2n1＋??＋

－n·2n1?＝(n－1)·∴Tn＝－?2n1＋2.

?1－2?

＋

若(n－1)2≤m(Tn－n－1)对于n≥2恒成立，则(n－1)2≤m[(n－1)·2n1＋2－n－1]，

n－1＋

(n－1)2≤m(n－1)·(2n1－1)，∴m≥n＋1，

2－1

x－1

令f(x)＝x＋1，可判断f(x)在x∈[2，＋∞)上是减函数．

2－1n－1111

，＋∞?. 则f(n)＝n＋1的最大值为f(2)＝，∴m≥.故实数m的取值范围为?7??772－1

——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————

2种思想——函数思想与转化化归思想

(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)转化化归思想，an与Sn转化，一般数列与特殊数列的转化等． 3个注意点——数列与函数、不等式、解析几何相结合应 注意的问题 (1)数列与解析几何结合时注意递推．

(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.