（完整word版）数列常见题型总结经典（超级经典）

高中数学《数列》常见、常考题型总结

题型一 数列通项公式的求法

1．前n项和法（知Sn求an）an??(n?1)?S1

?Sn?Sn?1(n?2)2例1、已知数列{an}的前n项和Sn?12n?n，求数列{|an|}的前n项和Tn n1、若数列{an}的前n项和Sn?2，求该数列的通项公式。

3an?3，求该数列的通项公式。 223、设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn?2Sn?n，

2、若数列{an}的前n项和Sn?求数列{an}的通项公式。

2.形如an?1?an?f(n)型（累加法）

（1）若f(n)为常数,即：an?1?an?d,此时数列为等差数列，则an=a1?(n?1)d. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法.

3n?1例 1. 已知数列｛an｝满足a1?1,an?3?an?1(n?2),证明an?

2*1. 已知数列?an?的首项为1，且an?1?an?2n(n?N)写出数列?an?的通项公式.

n?12. 已知数列{an}满足a1?3，an?an?1?1(n?2)，求此数列的通项公式.

n(n?1)an?1?f(n)型（累乘法） anan?1n?1（1）当f(n)为常数，即：，此数列为等比且an=a1?q. ?q（其中q是不为0的常数）

an3.形如

（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.

nan?1 (n?2)，求数列的通项公式。 n?1n?1an?1 (n?2)，求an与Sn。 1、在数列{an}中a1?1,an?n?1 例1、在数列{an}中a1?1,an?2、求数列a1?1,an?2n?3an?1(n?2)的通项公式。

2n?1pan?1型（取倒数法）

ran?1?san?1例1. 已知数列?an?中，a1?2，an?(n?2)，求通项公式an

2an?1?1an练习：1、若数列{an}中，a1?1,an?1?,求通项公式an.

3an?12、若数列{an}中，a1?1，an?1?an?2anan?1，求通项公式an.

4.形如an?5．形如an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型（构造新的等比数列）

（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;

（3）若c?1且d?0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设an?1?A?c(an?A),利用待定系数法求出A

11an?,求通项an. 22练习：1、若数列{an}中，a1?2,an?1?2an?1,求通项公式an。

例1．已知数列{an}中，a1?2,an?1?3、若数列{an}中，a1?1,an?1?2an?1,求通项公式an。 36.形如an?1?pan?f(n)型（构造新的等比数列）

(1)若f(n)?kn?b一次函数(k,b是常数，且k?0)，则后面待定系数法也用一次函数。

3，2an?an?1?6n?3,求通项an. 2练习：1、已知数列?an?中，a1?3，an?1?3an?4n?2，求通项公式an

例题. 在数列{an}中，a1?(2)若f(n)?q(其中q是常数，且n?0,1)

n①若p=1时，即：an?1?an?q，累加即可

n②若p?1时，即：an?1?p?an?q，后面的待定系数法也用指数形式。

npan1??,

qn?1qqnqap1b??b?令bn?n,则可化为.然后转化为类型5来解， n?1nnqqq2例1. 在数列{an}中，a1??，且an??2an?1?3n?1(n?N)．求通项公式an

511n1、已知数列?an?中，a1?，2an?an?1?()，求通项公式an。

22n2、已知数列?an?中，a1?1，an?1?3an?3?2，求通项公式an。

两边同除以qn?1 . 即：

an?1?题型二 根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a6?100，则S11? ； 2、设Sn、Tn分别是等差数列?an?、?bn?的前n项和，3、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若

Sn7n?2a?，则5? . Tnn?3b5a55S?,则9?（ ） a39S55、在正项等比数列?an?中，a1a5?2a3a5?a3a7?25，则a3?a5?_______。 6、已知Sn为等比数列?an?前n项和，Sn?54，S2n?60，则S3n? . 7、在等差数列?an?中，若S4?1,S8?4，则a17?a18?a19?a20的值为（ ） 8、在等比数列中，已知a9?a10?a(a?0)，a19?a20?b，则a99?a100? . 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差

例1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=B）证明数列等比

*例1、已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N).11.求证：{}是等差数列；

S2n

⑴证明：数列?an?1?an?是等比数列； ⑵求数列?an?的通项公式； 题型四：求数列的前n项和 基本方法：A）公式法，

B）分组求和法

1、求数列{2?2n?3}的前n项和Sn. C）裂项相消法，数列的常见拆项有：

n11111?(?)；?n?1?n；

n(n?k)knn?kn?n?1例1、求和：S=1+

111 ????1?21?2?31?2?3???n例2、求和：

1111?????. 2?13?24?3n?1?nD）倒序相加法，

x2111)?f(2009)???f(1例、设f(x)?，求：f(20103)?f(2)?f(2)???f(2009)?f(2010). 21?xE）错位相减法，

n1、若数列?an?的通项an?(2n?1)?3，求此数列的前n项和Sn.

2n?13. Sn?1?2x?3x?L?nx(x?0) （将分为x?1和x?1两种情况考虑）