高等几何答案

设AD，BE，CF为△ABC的三高线，EF×BC=D'，求证（BC,DD'）=－1，

在等腰三角形AB=AC的情况，这命题给出什么结论？ 证明：设P为△ABC的垂心，由完全四点形 AFPE（图17）的性质， 得（BC，DD'）=－1。

在等腰△ABC中，若AB=AC，D为垂足， 因而D为BC的中点。∵（BC，DD'）=－1， 所以D'为BC直线上的无穷远点，

因而FE∥BC。 即在等腰三角形中，底边的顶点到两腰的垂足的联线平行于底边。 第

1、将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：坐标表达。

解 设一维笛氏坐标系中，一点的坐标为x，则齐次坐标为（x1，x2），且

x1x＝x2图17五章射影坐标系和射影变换

???x??,??????0(1)?x??以齐次

，

?1=?2 一点的射影坐标为λ，齐次坐标为（λ1,λ2）且λ

，将

λ和x代入关系式（1）

x1???1x2??2?x1??x2有

?令1?1?2???x??x?x??x?212，化简得：1(??0)

?????1??x1??x2?0为齐次变换式。?????x??x且???212∴

2、在直线上取笛氏坐标为 2，0，3的三点作为射影坐标系的A1,A2, E，(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？

解：笛氏坐标 0 2 3 x 射影坐标： A2 A1 E λ （i）由定义 λ=（A1A2，EP）=（2

故：??10x，且?6?0363x?6

(3?2)(x?0)x?0，3x）=(x?2)(3?0)3x?6

(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有7x=0， ∴当x=0及

3、在二维射影坐标系下，求直线A1E，A2E，A3E的方程和坐标。

7x=3时两种坐标相等。

x?x3x?6，即

3x2－

解：坐标三角形顶点A1（1，0，0）,A2（0，1，0）,A3（0，0，1）和单位点E（1，1，1） 设P（x1，x2，x3）为直线A1E上任一

x11x201x30?01点，其方程为：

1

即x2－x3=0，线坐标为（0，1, －1）

x10x211x30?01直线A2E的方程为：－1）；

1，即x1－x3=0，线坐标为（1，0，

x10x201x31?01直线A3E的方程为：10）

，即x2－x1=0，线坐标为（－1，1，

4、写出分别通过坐标三角形的顶点A1，A2，A3 的直线方程。 解：设平面上任意直线方程为

u1x1+u2x2+u3x3=0，过点A1(1，0，0)时u1=0，即为u2x2+u3x3=0 ，

过点A2(0，1，0)时u2=0，即为u1x1+u3x3=0 ，

过点A3(0，0，1)时u3=0，即为u1x1+u2x2=0 。

5、取笛氏坐标系下三直线x－y=0，x+y－1=0，x－2=0分别作为 坐标三角形的边A2A3，A3A1，A1A2，取

31,E（22）为单位点，

图18求一点的射影坐标（x1，x2，x3）与笛氏坐标（x，y，t）的关系。

131,2解：E（2），∴e1=?2，e2=121，e3=?2。（图

18）

任意一点M（x，y）到三边的距离为： ρ

x?y1=?2，ρ

2=

x?y?12 ，ρ3=

x?21

∴射影坐标（x1，x2，x3）与笛氏坐标的关系为： ρ

?1x1=e1=x－y，ρ

?2x2=e2=x+y－t，ρ

?3x3=e3=－2x+4t

即：

1?10??x1?x?y,???x2?x?y?t,且11?1?6?0???x3??2x?4t?204

6、从变换式

???x1?x2?x3,??x1???x1?x2?x3,(1)??x2???x1?x2?x3??x3求出每一坐标三角形的三边在另一坐

标系下的方程。

解： △A1'A2'A3'三边，A1'A2'：x'3=0；A1'A3'：x'2=0；A2'A3'：x'1=0。 从变换式（1）可求得△A1'A2'A3'的三边在坐标系△A1A2A3下的方程：

A1'A2'的方程为：x'3=0，即x1+x2－x3=0； A1'A3'的方程为：x'2=0，即x1－x2+x3=0。 A2'A3'的方程为：x'1=0，即－x1+x2＋x3=0。

??x3?,??x1?x2???x3?,(2)??x2?x1??由（1）可求出逆变换式为：??x3?x1??x2