高等几何答案

（3）∵（12,3x）=（-1-2，-3x'），∴x' = - x

且?1001??1?0

17、当射影对应使一点列上的无穷远点对应于另一点列上的无穷远点时，证明两点列的 对应线段成定比。

证法1：∵三对对应点A→A' ，B→B'，C∞→C'∞，决定射影对应，

设M→M'为任一对对应点，则由（AB，C∞M）=（A'B'，C'∞M'）得：

（ABM）=（A'B'M'），

A?M?AMA?M?B?M?A?M??B?M?A?B???????定比。??BMBMAMBMAM?BMAB即

证法

bx或：x??abax?bdx??且?0c?cdcx?dx2：射影变换式为；

a?,

因为当x→∞时，x'→∞，所以c=0。 此时射影变换式为：

x??ax?bd，或dx'－ax－b=0。

设x1→x1'，x2→x2' 为两对对应点，因此 dx1'－ax1－b=0 ① dx2'－ax2－b=0 ②

①?? 减②式，得d(x1'－x2')=a(x1－x2)

???x2?ax1??定比。x1?x2d

18、圆周上的点和其上二定点相联得两个线束，如果把线束交于 圆周上的两线叫做对应直线，证明这样的对应是射影的。

图9 证明：设A，A'为圆周上二定点，Mi（i=1，2，3，4）为圆周上

任意四点（图9） ∵=

=A'（M1M2,M3M4） 。

∴A'（M1M2,M3M4?A'（M1M2,M3M4）

17、从原点向圆（x－2）2+(y－2)2=1作切线t1,t2。试求x轴，y轴，t1,t2顺这次序的交比。（设t1是邻近x轴的切线）

2k?2A（M1M2，M3M4）=

sin?M1AM3?sin?M2AM4sin?M1AM4?sin?M2AM3 sin?M1A?M3?sin?M2A?M4sin?M1A?M4?sin?M2A?M3

解： 设直线y=kx与圆相切，则解得：k1,2=

4?7.3

1?k2?1，两边平方得：3k2?8k?3?0，

∵t1邻近x轴，∴t1的斜率为因此t1的方程为

4?7y－34?7.3k1=

t2的斜率为k2=

4?7y－3x=0，

4?73，

x=0，t2的方程为

k1故（xy，t1,t2）=k24?7=4?7。

18、设点A（3，1，2），B（3，-1，0）的联线与圆x2+y2－5x－7y＋6=0相交于两点C和D，求交点C，D及交比（AB，CD）。 解： 圆方程齐次化：x12+x22－5x1x3－7x2x3+6x23=0, 设直线AB上任一点的齐次坐标是（3+3λ，1－λ，2），若此点在已知圆上，则

（3+3λ）2+（1－λ）2 －5（3+3λ）2－7（1－λ）2+6×22 =0，

化简得：10λ2－10=0， ∴λ1=1，λ2=-1，即直线AB与圆有两个交点，

设λ1，λ2分别对应的交点是C，D，则C的坐标是（3,0,1），D的坐标是（0,1,1）

?1且（AB，CD）=?2=-1.

19、一圆切于x轴和y轴，圆的动切线m交两轴于M及M'，试证｛M｝

?｛M'｝。

证明：设圆半径为r，M（a,0），M'（0，b），a，b为参数（图10）， 则

xy??1am的方程为b或

bx+ay-ab=0，由于m与圆相切， 因此

r?br?ar?aba2?b2，此式两边平方，

图10得r2a2+r2b2+a2b2+2abr－2a2br－2b2ar＝a2r2＋b2r2,

1?2r2或 ab－2ra－2rb+2r2=0

?2r2r??2r2?0

∴点M，M'的参数间有一个行列式不等于零的双一次函数， 故｛M｝?｛M'｝。

20、x表直线上点的笛氏坐标，这直线上的射影变换βγ≠0,在什么条件下以无穷远点作为二重点。 解：设x=x'是无穷远点，因此

x???x???x??,δα－

limxx?? =

?xlimx?????x?? =

??????0?

所以，以无穷远点作为二重点的射影变换是

x???x?????ax?b,其中a?,b?.???

21、设两个重迭一维射影几何形式有两个二重元素 S1、S2 ，证明

???S1??S1?k它们之间的对应式可以写作???S2??S2,k是个常数。

证明：已知S1→S2，S2→S2，设μ1→μ'1是第三对对元素，μ→μ'是任一对对应元素，

因为三对对应元素确定唯一射影对应，

∴（S1S2 ，μ1μ'）=（S1S2 ，μ1'μ'），因而

(?1?S1)(??S2)(?1??S1)(???S2)?(??S1)(?1?S2)(???S1)(?1??S2)

(???S1)(?1??S1)(?1?S2)(??S1)(??S1)(???S)(?1?S2)故：???k,其中k=11(???S2)(?1??S2)(?1?S1)(??S2)(??S2)(?1??S2)(?1?S1)=

22、设S1，S2是对合对应的二重元素，证明这对合可以写作:

???S1??S1??0???S2??S2

证明：设μ→μ'是对合对应下任一对对应元素，从而（S1S2 ，μμ'）=-1，即

??S1???S2??S1???S1???1????S2???S1???S2 或??S2