高等几何答案

（x,y）为笛氏坐标，（x'，y'）为仿射坐标。

?x???1x??2y??0?y???x??y??120笛氏到仿射的变换式为：??1?2?0(2)?1?2

设其逆变换为：

?x?a1x??a2y??a0?y?bx??by??b120?a1a2?0(3)b1b2 将（3）式代入（1），得

A（a1x'+a2y'+a0）+B (b1x'+b2y'+b0) +C=0, 即：(Aa1+Bb1)x'+(Aa2+Bb2)y'+Aa0+Bb0+C=0， 记为：Ax??By??C?0 是x',y'的一次式。

其中A =Aa1+Bb1, B =Aa2+Bb2， C=Aa0+Bb0+C0

且A,B不全为0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=0

?a1b1a2a?0与1b2b1a2?0矛盾。b2

11、利用仿射变换式，试求在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？

（从而明确1.2定理5所指常数的意义）。

解：ΔA1A2A3和ΔA'1A'2A'3的面积分别以S, S'表示，

?x11?S??x22?x3x11?x22x3?1y1?1y2?1y3y11a11y21a12y31a13a21a22a2300=

1a11x2?a12y2?a132a11x3?a12y3?a13a11x1?a12y1?a13a21x1?a22y1?a231a21x2?a22y2?a231a21x3?a22y3?a231

1S??DS??D12S(常数)

这结果与§1.2系2一致，三角形（从而多边形或曲线形）的面积经仿射变换后乘以一个常数k，此地进一步明确了这常数就是仿射变换

式的行列式的绝对值，仿射变换式不同，这常数也不同。

12、在等腰梯形中，两底中心，两对角线交点，两腰（所在直线）交点，这四点显然共线（在对称轴上），试用仿射变换于此图形，得出什么推广了的命题？

解：设E，F，Q，P分别是等腰梯形ABCD下底，上底的中点，对角线交点，要腰所在直线交点，T为仿射变换， 则梯形ABCD?梯形A'B'C'D'，E?E'为B'C'中点， F?F'为A'D' 中点。

∵（BDQ）=（B'D'Q'）,(ACQ)=（A'C'Q'）, （BAP）=（B'A'P'）,(CDP)=(C'D'P')

且E，Q，F，P共线，∴由结合性得E'，Q'，F'，P' 四点共线，但直线P'E'已不是对称轴（图4）。由此得出，任意梯形上、下底中点，对角线交点，两腰所在直线交点凡四点共线。

TTT图(4) 13、求仿射变换

?x??3x?y?4y??4x?2y的自对应点和自对应直线；

2x?y?4?04x?3y?0?解：求自对应点：设x=x', y =y'，因此得

解得自对应点的坐标为x=-6，y=-8。

求自对应直线，设任意直线l（u,v,w）在所给的变换下的像1' 的方程为：

u'x'+v'y'+w'=0

u' (3x－y+4)+v' (4x－2y) +w' =0，或（3u'+4v'）x－(u'+2v')y+4u'+w'=0。 若1为自对应直线，则u=λu'，v=λv'，w=λw'，因此

?3u??4v???u???3???u??4v??0????u??2v???v????u???2???v??0(1)??4u???1???w??0?4u??w???w??

因为u'，v'，w'不全为零，所以方程组(1)有非零解。

3???14?2??0001???0故4 解得λ1=2，λ2=－1，λ3=1，

将λ1=2代入方程组(1)，得u'= 4, v' =－1，w' =16。

将λ2=－1代入方程组(1)，得u'=1, v'=－1，w'=－2。 将λ3=1代入方程组(1)，得u'=0, v'=0，w'=1。 就本章内容而言，λ=1时，自对应直线不存在，故所求自对应直线为：

4x－y+16=0和x－y－2=0。

AS第二章 欧氏平面的拓广 1、证明中心投影一般不保留共线三点的简比。

BB1CC?证：设△SAC为等腰三角形（SA=SC）,SB⊥AC, 过A作一射线平行于SC交SB的延长线于B1, 交SC于C∞（图5），则A,B1,C∞在中心S的投影下分别是A,B,C的像点， ∵（ABC）=

AC?2BC,

而（AB1C∞）=

AC??1B1C?，

∴（ABC）≠（AB1C∞）, 即中心投影一般不保留共线三点的简比。 2、以下面的坐标表示的直线是怎样的直线？ （1）（1，1－1）； （2）（1，－1，0）；（3）（0，1，0）。

解 利用点线结合方程：u1x1+u2x2+u3x3=0.

(1) ∵u1=1, u2=1, u3=－1, ∴x1+x2－x3=0，非齐次化为：x+y－1=0.

(2) x1－x2=0或x－y=0。（3）x2=0或y=0是x轴的方程。 3、求联接点（1,2,－1）与二直线（2,1,3），（1，－1，0）之交点的直线方程。

解 先求二直线（2,1,3），（1，－1，0）的交点坐标： x1：x2：x3=

33221::?3:3:?3?1:1:?1?10011?1 1

再求两点（1，1，－1），（1，2，－1）的联线的坐标：

1?1?1111::?1:0:12?1?1112u1：u2：u3=

所求直线方程为：x1+x3=0或

x+1=0

4、求直线（1,－1,2）与二点（3，4，－1）,(5,－3,1)之联线的交点坐标。

解：先求二点（3，4，－1），(5,－3,1)的联线坐标： u1：u2：u3=

?1?1334::?1:?8:?29?31155?3 4再求二直线（1,－1,2），（1，－8，－29）的交点坐标： x1：x2：x3=

11?1:?45:31:?7?8?29?2911?8

:?122C?所求交点坐标为（45，31，－27）。