江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题

2012年秋学期江苏省泰兴市高三期中调研考试

数学试题

一、填空题（每小题5分，共70分）

1．若集合A?{x|x2?4x?0}， B??yy?Z?，则集合A?B? ．

2．函数y?sinπxcosπx的最小正周期是 ． 3．下列函数为奇数函数的是 ．

①．y?x2 ； ②y?x3；③ y?2x；④ y?log2x．

4．已知命题“?x?[1,2]，使x2+2x +a≥0”为真命题，则a的取值范围是_ ． 5．已知等比数列?an?的各项都为正数，它的前三项依次为1，a?1，

2a?5则数列?aADn?的通项公式是an= ．

6．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，

FAE与BD交于点F．则FD?DE= ．

E7．已知集合A??xx2?x≤0,x?R?，设函数f(x)?2?x?a（x?A） 的值域为B，若B?A，则实数a的取值范围是 ．

BC8．已知函数f(x)?x1?|x|(x?R) 时，则下列结论不．

正确是 (填序号)． （1）?x?R，等式f(?x)?f(x)?0恒成立；

（2）?m?(0,1)，使得方程|f(x)|?m有两个不等实数根； （3）?x1,x2?R，若x1?x2，则一定有f(x1)?f(x2)；

（4）?k?(1,??)，使得函数g(x)?f(x)?kx在R上有三个零点．

29．函数f(x)???sinπx,?1?x?0;2，则a? ．

?ex?1,x≥0，满足f(1)?f(a)?10．若点P是△ABC的外心，且PA?PB??PC?0，?C?120o，则实数?? ．

．等比数列{a的前n项和为S(an}n?1)211n，满足Sn?4，则S20的值为 ．

12．设f(x)奇函数，当x≥0时， f(x)＝2x－x 2，若函数f(x)(x∈[a，b])的值域为[11

b，a]，则b的最小值为 ▲ ．13．从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然

后每间隔50m在公路边栽一根．已知运输车辆一次最多只能运3根，要完成运栽20根电线杆的任务，并返回材料工作，则运输车总的行程最小为 ▲ m．

14．已知函数f(x)?f?16(x?0.25)2,0≤x≤0.5;1(x)??16(x?0.75),0.5≤x≤1. ?2当n≥2时，f1n(x)?f(fn?1(x))(x?[0,1]．则方程f2012(x)?3x的实数解的个数是 ▲ ． 二、解答题（本大题6小题,共90分）

15．（本小题满分14分）已知函数f(x)?log(x?3x?a)的定义域为A，值域为B． （1）当a＝4时，求集合A；

（2）当B＝R时，求实数a的取值范围．

16．（本题满分14分）已知?ABC，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足下列三个条件：①a2?b2?c2?ab ； ②3c?14sinC； ③a?b?13． 求 (1) 内角C和边长c的大小；

(2) ?ABC的面积．

17．(本题满分15分)

设e1,e2是两个互相垂直的单位向量，已知向量AB?3e1?2e2，，CB?e1??e2,CD??2e1?e2，（1）若A、B、D 三点共线，试求实数?的值．

（2）若A、B、D 三点构成一个直角三角形，试求实数?的值．

18．(本小题满分15分)

某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图)，长、宽分别是x米、y米，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路，大棚所占地面积为S平方米，其中a∶b=1∶2． (1)试用x，y表示S；

(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？

19． （本小题满分16分）

已知数列?an?中，a1?2，a2?3，其前n项和Sn满足Sn?1?Sn?1?2Sn?1,其中n≥2，n?N*． （1）求证；数列?an?为等差数列，并求其通项公式；

（2）设bn?an?2?n，Tn为数列?bn?的前n项和，求使Tn>2的n的取值范围．

（3）设cn?4n?(?1)n?1??2n(?为非零整数，n?N*），试确定?的值，使得对任意n?N*，都有cn?1?cn成立．

a20． （本小题满分16分）

已知函数f(x)?x2?2ax?1(a?R),f?(x)是f(x)的导函数． （1）若x?[?2,?1]，不等式f(x)≤f?(x)恒成立，求a的取值范围； （2）解关于x的方程f(x)?|f?(x)|；

?f?(x),f(x)≥f?(x)（3）设函数g(x)??，求g(x)在x?[2,4]时的最小值．

?f(x),f(x)?f(x)?

2012年秋学期江苏省泰兴市高三期中调研考试数学试题参考答案

一、填空题（每小题5分，共70分）

1．若集合A?{x|x2?4x?0}，B={y|y Z}，则集合AIB?{1，2，3}． 2．函数y?sinπxcosπx的最小正周期是 1 ． 3．下列函数为奇数函数的是 ② ．

①．y?x2 ； ②y?x3；③ y?2x；④ y?log2x．

4．已知命题“?x?[1,2]，使x2+2x +a≥0”为真命题，则a的取值范围是a≥?8．

5．已知等比数列?an?1n?的各项都为正数，它的前三项依次为1，a?1，2a?5，则数列?an?的通项公式是an=3．6．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，

AE与BD交于点F．则uuFDur?uuuDEr??32．

AD7．已知集合A??xx2?x≤0,x?R?F，设函数f(x)?2?x?a（x?A） E的值域为B，若B?A，则实数a的取值范围是[?12,0]． 8．已知函数BCf(x)?x1?|x|(x?R) 时，则下列结论不．

正确是（4）(填序号)． （1）?x?R，等式f(?x)?f(x)?0恒成立；

（2）?m?(0,1)，使得方程|f(x)|?m有两个不等实数根； （3）?x1,x2?R，若x1?x2，则一定有f(x1)?f(x2)；

（4）?k?(1,??)，使得函数g(x)?f(x)?kx在R上有三个零点．

9．函数f(x)???sinπx2,?1?x?0;f(1)?f(a)?2，则a?1或?2?ex?1,x≥0，满足2．

10．若点P是△ABC的外心，且uuPAr?uuPBr??uuPCur?r0，?C?120o，则实数???1．

(a211．等比数列{an}的前n项和为Sn?1)n，满足Sn?4，则S20的值为0．

12．设f(x)奇函数，当x≥0时， f(x)＝2x－x 2，若函数f(x)(x∈[a，b])的值域为[11

b，a]，则b的最小值为-1．

13．从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根．已知运输车辆一次最多只能运3根，要完成运栽20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为 14000 m．

14．已知函数f(x)?f?16(x?0.25)2,0≤x≤0.5;1(x)??≤1. ?16(x?0.75)2,0.5≤x当n≥2时，f1n(x)?f(fn?1(x))(x?[0,1]．则方程f2012(x)?3x的实数解的个数是42012． 二、解答题（本大题6小题,共90分）

15．（本题满分14分）已知函数f(x)?log(x?3x?a)的定义域为A，值域为B． （1）当a＝4时，求集合A；

（2）当B＝R时，求实数a的取值范围．

解：（1）当a＝4时，由x?3x2?4x?3(x?1)(x?x?4?x?3)x?0，………………2分 解得0＜x＜1或x＞3， ………………………………………………………４分

故A＝{x|0＜x＜1或x＞3} ………………………………………………………5分

（2）若B＝R，只要u?x?3x?a可取到一切正实数， ………………………8分 则x＞0及umin≤0， ………………………………………………………12分 ∴umin＝23－a≤0，解得a≥23 …………………………………………13分

实数a的取值范围为??23,???．…………………………………………1４分

16． （本题满分14分）已知?ABC，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足下列三个条件：

①a2?b2?c2?ab ； ②3c?14sinC； ③a?b?13． 求 (1) 内角C和边长c的大小；

(2) ?ABC的面积．

解：(1) 由a2?b2?c2?ab，所以cosC?12,……………………………………2分 ∵0?C?π, ∴C?π3,………………………………………………………………4分 ∵3c?14sinC,∴c?143sinπ3,∴c?7．……………………………………6分

(2) S1?2absinπABC?3………………………………………………………………8分 由a2?b2?c2?ab,得49?(a?b)2?3ab?ab?40,………………………12分

故S1?ABC?2absinπ3?103………………………………………………………14分 17．(本题满分urur15分)

设eeuuurur2ueruurururuuururur1,2是两个互相垂直的单位向量，已知向量AB?3e1?2，CB?e1??e2，CD??2e1?e2，（1）若A、B、D 三点共线，试求实数?的值；

（2）若A、B、D 三点构成一个直角三角形，试求实数?的值．

解：（1）uuBDur?CDuuur?CBuur?(?2uerururururur1?e2)-(e1??e2)=?3e1?(1??)e2………………2分

∵A、B、D 三点共线，∴uABuur??uBDuur………………………………………4分

即3uerur=?[?3uerur?3??3?1?2e21?(1??)e2]???2??(1??)????3………………7分

（2）uuuADr?uuABur?uuBCur?CDuuur?（3uerururur（?2uerur1?2e2）+（?e1+?e2）+1?e2）

=(??3)uer2 ……………………………………………8分

若?A?90o，则uuABur?uuuADr?2(??3)uer22?0????3…………………………10分

若?B?90o，则uuABur?uuBDur??9uer2ur271?2(??1)e2?0???2…………………12分

若?D?90o，则uuBDur?uuuADr?(??1)(??3)uer22?0????3或???1………14分

综上所述实数?的值为???3或???1或??72………………………………15分 18．(本题满分15分)

某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图)，长、宽分别是x米、y米，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路，大棚所占地面积为S平方米，其中a∶b=1∶2． (1)试用x，y表示S；

(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？ 解：（1）由题意可得：xy?1800,b?2a

则y?a?b?3?3a?3…………………………4分

S?(x?2)a?(x?3)b?(3x?8)a?(3x?8)y?33?1808?3x?8y3…………8分 S?1808?x3?8y3?18?08x?383?180x?0?180x?831x(6………………1000)分

≤1808?3?2x1600x?1808?240?1568 …………………………………12分 当且仅当x?1600x，即 x?40时取等号， S取得最大值．此时 y?1800x?45 所以当x?40，y?45时，S取得最大值．……………………………………15分 19． （本题满分16分）

已知数列?an?中，a1?2，a2?3，其前n项和Sn满足Sn?1?Sn?1?2Sn?1,其中n≥2，n?N*．

（1）求证；数列?an?为等差数列，并求其通项公式；

（2）设b?nn?an?2，Tn为数列?bn?的前n项和，求使Tn>2的n的取值范围；

（3）设can?4n?(?1)n?1??2n(?为非零整数，n?N*），试确定?的值，使得对任意n?N*，都有cn?1?cn成立．

解：（1）由已知，?Sn?1?Sn???Sn?Sn?1??1（n≥2，n?N*）， ………………2分

即an?1?an?1（n≥2，n?N*），且a2?a1?1． ∴数列?an?是以a1?2为首项，公差为1的等差数列．

∴an?n?1．……………………………………………………………………………4分 (2) ∵a1n?n?1，∴bn?(n?1)?2n ?T1111n?2?2?3?22?L?n?2n?1?(n?1)?2n...........(1)12T?2?1

23?111n2?23?????n?2n?(n?1)2n?1..........(2)(1)?(2)得：12T1111n?1?22?23?L?2n?(n?1)?2n?1

∴ T?n?3n ?32n …………………………………………………6分

代入不等式得：3?n?3n?2?2，即3n2n?1?0

设f(n)?n?32n?1,则f(n?1)?f(n)??n?22n?1?0 ∴f(n)在N?上单调递减， ………………………………………………8分 ∵f(1)?1?0,f(2)?14?0,f(3)??14?0， ∴当n=1,n=2时,f(n)?0,当n≥3时，f(n)?0， 所以n的取值范围．为

n≥3,且n?N? …………………………………………10分

（3）Qa?n?1,?cn?1)n?1nn?4?(?2n?1,要使cn?1?cn恒成立，

即c?2n?1?cn?4n?1?4n?(?1)n?2n?(?1)n?1?2n?1?0恒成立，

?3?4n?3(?1)n?1?2n?1?0恒成立，∴(?1)n?1??2n?1恒成立，…………………12分

（i）当n为奇数时，即??2n?1恒成立，当且仅当n?1时，2n?1有最小值为1，???1．

（ii）当n为偶数时，即???2n?1恒成立，当且仅当n?2时，?2n?1有最大值?2， ????2．即?2???1，

又?为非零整数，则???1．…………………15分

?综上所述：存在???1，使得对任意的n?N，都有cn?1?cn．……………16分

20． （本题满分16分）

已知函数f(x)?x2?2ax?1(a?R),f?(x)是f(x)的导函数． （1）若x?[?2,?1]，不等式f(x)≤f?(x)恒成立，求a的取值范围； （2）解关于x的方程f(x)?|f?(x)|；

??g?x???min?8a?17, a≤?4,?2?1?a, ?4?a??2,???4a?5, ?2≤a??1, …………………………………………16分

2??1?2a?4, a≥?2?(各题如有其他解法，请相应给分)

（3）设函数g(x)???f?(x),f(x)≥f?(x)，求g(x)在x?[2,4]时的最小值． ??f(x),f(x)?f(x)解：(1)因为f(x)≤f?(x)，所以x2?2x?1≤2a(1?x)，

又因为?2≤x≤?1，

x2?2x?1x2?2x?11?x3?≤， 所以a≥在x?[?2,?1]时恒成立，因为

2(1?x)2(1?x)2232⑵ 因为f(x)?f?(x)，所以x2?2ax?1?2x?a，

所以a≥．……………………………………………………………………………4分

所以(x?a)2?2x?a?1?a2?0，则x?a?1?a或x?a?1?a． ……………7分 ①当a??1时，x?a?1?a，所以x??1或x?1?2a； ②当?1≤a≤1时，x?a?1?a或x?a?1?a， 所以x??1或x?1?2a或x??(1?2a)；

③当a?1时，x?a?1?a，所以x?1或x??(1?2a)．…………………………10分

?f?(x),f(x)≥f?(x),⑶因为f(x)?f?(x)?(x?1)[x?(1?2a)]，g(x)??

?f(x),f(x)?f(x),?1，则x??2,4?时，f(x)≥f?(x)，所以g(x)?f?(x)?2x?2a， 2从而g(x)的最小值为g(2)?2a?4； ………………………………12分

3②若a??，则x??2,4?时，f(x)?f?(x)，所以g(x)?f(x)?x2?2ax?1，

23当?2≤a??时，g(x)的最小值为g(2)?4a?5，

2① 若a≥?当?4?a??2时，g(x)的最小值为g(?a)?1?a2，

当a≤?4时，g(x)的最小值为g(4)?8a?17．…………………………………14分

?x2?2ax?1,x?[2,1?2a)31③若?≤a??，则x??2,4?时，g(x)??

222x?2a,x?[1?2a,4]?当x?[2,1?2a)时，g(x)最小值为g(2)?4a?5； 当x?[1?2a,4]时，g(x)最小值为g(1?2a)?2?2a．

3122所以g(x)最小值为4a?5．综上所述，

因为?≤a??，(4a?5)?(2?2a)?6a?3?0，