2010年第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）、答案及详细分析解答

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A（小学组）

一、填空题（每小题10分，共80分）

1．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是5的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球。

2．有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒。一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格。

3．汽车A从甲站出发开往乙站，同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站，途中A与B相遇20分钟后再与C相遇。已知A、B、C的速度分别是每小时90km, 80km, 60km，那么甲乙两站的路程是 km。

4．将

和这6个分数的平均值从小到大排列，

则这个平均值排在第 位。

5．将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为 ，这些“好数”的最大公约数是 。

6．右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为 。

7．数字卡片“3”、“4”、“5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最多有 张是卡片“3”。

8．若将算式

的

值化为小数，则小数点后第1个数字是 。

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成右图中4×5的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

1

10．长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，

12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？

11．足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分。若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？

12．华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13．右图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米。已知

△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都

等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米。

求六边形A1B1C1D1E1F1的面积。

14．已知两位自然数能被它的数字之积整除，求出

代表的两位数。

2

答案 1．173 2．19 3．425 4．5 5．223；3 6．32 7．3 8．4 9．不能

10．[8，12，18]=72

8+12+18-3-2-1+1=32 除去重复的32-4=28段 最长一段长为1，所以1/72 11．7；5

12．有质数,1163；1163不能除以2,3,5??37内质数,1163＜37×40

13．335×6=2010 （2010-670）÷2=670

2010-（670×2）=670

14．11，12，15，24，36

第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛（A卷）解答的

详细解析与答案

一、填空题（每小题10分，共80分） 1、【解答】（枚举方法）至少需要11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173 。 2、【解答】（列表方法） 共有25-6=19 (种)

包 装 盒 价 格 1 3 5 7 9 礼 2 3 5 7 9 11 品 5 6 8 10 12 14 盒 8 9 11 13 15 17 价 11 12 14 16 18 20 格 14 15 17 19 21 23 3、【解答】（相遇、追及综合问题）A与C 20分钟相遇，共行（90+60）×(20÷60)=50( km) ,这50 km即是A与B相遇过程中，在相同时间内，B比C多行的路程，显然A与B相遇时间等于50÷（80-60）=2.5（小时）。所以，A与B相遇甲乙两站的路程为（90+80）×2.5=425( km)

4、【解答】平均数=【（

12+13+16）+14+15+17】÷6≈0.265457，所以这个平均数从小到大排列在第5位。

5、【解答】（余数问题或周期规律）题意中的好数实际是指小于或等于2012中除以9余6的数有多少个。即数列6、15、24、33、42、51…….1005、2004共（2004-6）÷9+1=223（个），最大公约数为3

3

6、【解答】（表面几何问题）。

(视图方法)。俯视面积5，仰视面积5，前视面积5，后视面积5，左视面积6，

右视面积6，表面积共32 7、【解答】（不定方程问题）

设卡片3用X张，卡片4用Y张，卡片5用M张，则： X+Y+M=8 ①

3X+4Y+5M=33 ② ?2X+Y=7 ?X最大为3

8、【解答】（估算问题）

根据分数数列运算符号的加减周期性，将分数数列分组求近似值，进行估算。

1.1?2 - 13?4≈0.416 ，11115?6-7?8≈0.01548 ， 9?10-11?12≈

0.00354 ，1113?14-15?16≈0.00132

117?18?119?20?0.00063，??推理后面每两个分数之差更接近0，而且是有限个

求和,所以小数点后第一位为4。

二、答下列各题(每题10分，共40分) 9、【解答】（染色问题）将5块硬纸板黑白间隔染色，可见黑色有11块，白色9块，或者黑色9块，白色11块。而右边20个格子黑、白各10块。显然不能用左边5个硬纸板拼成右边的的4×5的长方形。

10、解答（重叠问题） ：令L=[8,12,18]=72的K倍，即L=72K。那么: 红线将木棍等分8等份 （9个分点）， 每份长度9K；

蓝线将木棍等分12等份（13个分点）， 每份长度6K； 黑线将木棍等分18等份（19个分点）， 每份长度4K；

又知：【9K，6K】=18K,重叠4段。 【6K，4K】=12K ，重叠6段。 【9K，4K】=36K，重叠2段

【9K,6K,4K】=36K,重叠2段。

由容斥原理二得：一共分割的段数为：(8+12+18)-4-6-2+2=28（段）

或总点数为：（9+13+19）-5-7-3+3=29(分点)，所以共

有28段。 11、【解答】（数值综合推理）

4

5只足球队单循环比赛共赛4+3+2+1=10场。从计分标准看，有胜负的场次得3分，平局的场次共得2分，题意中的问题是E队最多得分和最少得分，显然和整个比赛中平局的次数有关，平局越少，E队得分会越高；平局越多，E队得分会越低。假设全是3分，10场共计30分，每平局总分倒减1分。

由A、B、C、D的得分不难分析， A=1 =1+0+0+0

B=4 =3+1+0+0 = 1+1+1+1 C=7 =3+3+1+0 D=8 =3+3+1+1 从得分看至少3局平局，全部比赛总分30-3=27分，E对得分最多为27-1-4-7-8=7分。

从得分看最多5场平局，全部比赛总分30-5=25分，E队得分最少为25-1-4-7-8=5分。 12、【解答】（质数问题）

16424是合数，原因是16424的约数不止两个，除了有1和本身外还有2、4……等等。

1163是质数,判断方法是: 352=1225，342=1156 最接近1163，所以用小于34的所有质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除1163都除不尽，所以可以判断1163是质数。

三、解答下列各题（每题15分，共30分） 13、【解答】（图形面积问题）（容斥原理求面积）

六边形A1B1C1D1E1F1 的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形

中间夹圈部分的面积。

根据容斥原理：两个六边形中间夹圈部分的面积=（335×6+670）÷2=1340 所以：

六边形A1B1C1D1E1F1 的面积=六边形ABCDEF的面积－两个六边形中间夹圈部分的面积

=2010-1340=670

14、【解答】（不定方程问题）

令虎为X、威为Y , 则：题意为：10X+Y=X×Y×K（K为整数） 讨论:①Y=1 ? (K-10)X=1 ? X=1,K=11, ? XY=11

②Y=2 ? (K-5)X=1 ? X=1,K=6, ? XY=12

③Y=3 ? (3K-10)X=3 ? 无解

④Y=4 ? (4XK-10K)=2 ? X=2,K=3 ? XY=24 ⑤Y=5 ? （K-2）X=1 ? X=1,K=3 ? XY=15 ⑥Y=6 ? (3K-5)X=3 ? X=3,K=2 ? XY=36 ⑦Y=7，同上方法讨论无解。 ⑧Y=8，同上方法讨论无解。 ⑨Y=9，同上方法讨论无解。

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