2018年高考数学一轮总复习专题2.3函数奇偶性和周期性练习（含解析）文

2．图象法；

【变式训练】

1．(2015福建高考)下列函数为奇函数的是( )

A．y＝x C．y＝cos x 【答案】D

B．y＝|sin x| D．y＝e－e

x－x

2.（2017云南省昆明模拟）设函数是（ ）

- 5 -

的定义域为，且是偶函数，则下则结论中正确的

A. C.

是偶函数 B. 的图像关于直线

对称 D.

是奇函数

的图像关于（0，1）对称

【答案】C

【解析】由题意得，例如

例如

，则

，则

是偶函数，此时

是奇函数，所以A不正确；

，则

是偶函数，此时是偶函数，所以B不正确；例如

是偶函数，图象关于轴对称，所以D 不正确；由函数的图象变换可知，

函数关于

向右平移1个单位，可得函数对称，所以函数

的图象关于

的图象，又函数对称，故选C。

是偶函数，图象

3．判断下列函数的奇偶性．

(1) f(x)＝1－x＋x－1； 4－x (2) f(x)＝；

|x＋3|－3

?－x＋x，x>0，?

(3) f(x)＝?2

??x＋x，x<0.

2

22

2

【答案】见解析

知识链接：

知识点1 函数的奇偶性

- 6 -

奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 必会结论 ：函数奇偶性常用的结论 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 奇函数 ①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(x)有意义，那么一定有f(0)＝0； ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)；

③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；

④奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性．偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性．

题型二 函数周期性及应用

典例2. （1）（2017山东省威海模拟）周期为4的奇函数f(x)在[0,2]上的解析式为；

?x2,0?x?1，则f(2015)+f(2017)?（ ） f(x)???log2x?1,1?x?2（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】A

【解析】因为函数是周期为4的奇函数，所以f(2015)?f(504?4?1)?f(?1)??f(1)??1

f(2017)?f(504?4?1)?f(1)?1，则f(2015)+f(2017)?0

(2) （2017兰州模拟）已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－时，f(x)＝x，

则f(105.5)＝________. 【答案】2.5

1

fx，当2≤x≤3

(3) (2016兰州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，

当x∈[0,1]时，f(x)＝2－1.

- 7 -

x①求证：f(x)是周期函数；

②当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；

③计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)的值． 【答案】见解析

【解析】①证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，

则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)

＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数．

② 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称， 则f(x)＝f(2－x)＝2

2－x－1，x∈[1,2]．

③ ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， 又f(x)是以4为周期的周期函数．

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(2 016)＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝1.

解题技巧与方法总结

函数周期性的判定与应用

1．判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.

2．应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体

问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

【变式训练】

1.（2017成都市第七中三诊）．设f?x?是定义在R上周期为2的奇函数，当0?x?1时，

?5?f?x??x2?x，则f????（ ）

?2?A. ?

【答案】C

1111 B. ? C. D. 4242??1?21?1?5??1??1?【解析】由题意可知：f????f?????f?????????? .选C.

?2??2??2????2?2??42．（2017河北省巨鹿月考）已知对于任意的x,y?0，都有f?x?1??f?x??f?x?2?，

- 8 -